3.1.3. Використання теорії різницевих рівнянь для моделювання процесу мобілізації

У цьому пункті розпливчасті та не завжди формалізовані поняття системного аналізу будуть замінятися значно точнішими і більш стро­гими математичними термінами.

Моделі, які аналізуються, розроблені в рамках детерміністського підходу, тобто вважається, що соціальні явища можна розглядати як процес, що складається зі структурованої, логічно упорядкованої серії подій, дій, операцій. Мета моделювання полягає у визначенні струк­тури соціальних процесів і породжуваних ними соціальних змін.

Математика забезпечує дослідника інструментарієм, який дозволяє вивчати динамічні поведінки систем. Але зрозуміти структуру ди­на­мічного процесу, задати закон взаємозв’язку в часі між змінними моделі дослідник повинен у процесі постановки задачі, розробляючи когнітивну карту системи, яка увібрала в себе в концентрованому ви­гляді гіпотетичні уявлення про основні причинно-наслідкові зв’язки.

У теорії різницевих рівнянь передбачається, що змінні дослід­жу­ваного процесу визначені в дискретні моменти часу … . Інтервал часу як правило, є постійним для кожного ( ).

Доцільність такого розгляду визначається початковими даними про соціальний процес, який часто виміряються в дискретні моменти часу (офіційна статистика, періодичні опитування, переписи тощо). Інтер­вал часу може дорівнювати п’ятирічці, року, кварталу, місяцю, тиж­ню і т. д.

Якщо інтервал часу стає нескінченно малим ( ), тоді процес розглядається як безперервний і вивчається за допомогою теорії ди­ференційних рівнянь.

Модель мобілізації. Під терміном «політична» або «соціальна мо­білізація» розуміється залучення людей до партії або числа її при­хильників, навертання в якусь віру, участь у певному русі (боротьба за мир, екологію, здоров’я і т. ін.). Поточний рівень мобілізації тісно зв’язаний з минулим рівнем, а майбутня мобілізація залежить від ни­нішніх успіхів пропагандистської компанії. Застосовуючи най­про­сті­шу динамічну модель, спробуємо відобразити логіку змін рівня мобі­лізації між двома сусідніми моментами часу.

Позначимо через частку мобілізованого населення в момент , тоді частка немобілізованого населення дорівнює Нехай позначає зміну рівня мобілізації за одиницю часу (рік, місяць і т. д.):

За час від до рівень мобілізації може змінитися через дві причини: частину населення вдалося додатково загітувати – , де – коефіцієнт агітованості, константа, яка не залежить від часу; частина населення, що вибуває з числа членів, учасників, прихильників, дорівнює де – постійний коефіцієнт вибуття ( , ).

Параметри і виражають пропорції, в яких відповідні частини населення змінюють свою поведінку на розглянутому відрізку часу.

Тоді рівняння процесу мобілізації можна записати в такий спосіб:

   (2.10)

Рівняння (2.10) може бути перетворене так:

   (2.11)

тобто зведено до вигляду

   (2.12)

який є стандартною формою лінійного різницевого рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами.

Розв’язком рівняння (2.12) називається така функція за якої послідовність задовольняє рівнянню (2.12) для заданої області зна­чень  .

Рівняння (2.12) є найпростішим і легко може бути розв’язано алге­бра­їчними методами.

У загальному випадку розв’язок рівняння (2.12) має такий вигляд:

для ,	(2.13)
для

Отже, розв’язок рівняння (2.12) однозначно визначається почат­ко­вим значенням

Рівновага і стійкість. Одна з властивих людині якостей – пра­гнення до стабільності, що формалізується в теорії динамічних систем за допомогою поняття рівноваги. Рівновага – це стан системи, в якому параметри, що цікавлять дослідника, залишаються незмінними: причому це не означає, що життя в системі взагалі завми­рає. У рамках моделі мобілізації припущення про сталість не оз­на­чає відсутності змін серед, приміром, прихильників якоїсь партії (час­тина їде, частина вмирає, ще хтось переходить до іншої партії), але загальне співвідношення залишається приблизно постійним.

Для визначення точки рівноваги системи підставимо умову у рівняння (2.10) і одержимо

   (2.14)

Отже,

Легко показати, що для рівняння (2.12) стан рівноваги обчис­лю­єть­ся в такий спосіб:

   (2.15)

Аналізуючи співвідношення (2.13), розглянемо таблицю 2.1, що ха­рактеризує значення коефіцієнта

Зі співвідношення (2.13) можна вивести, що існують тільки типи поведінки розв’язку, зображені на рис. 2.25.

Рис. 2.25. Якісна поведінка розв’язку рівняння (2.12) ( )

Таблиця 2.1

	I	II
	III	IV

Варіант I описує монотонну збіжність до стану рівноваги.

Варіант II – осцилюючу збіжність.

Варіант III – монотонну розбіжність.

Варіант IV – осцилюючу розбіжність.

За визначенням, варіанти I і II характеризують стійку систему: всі розв’язки сходяться до стану рівноваги незалежно від значень і а варіанти III і IV означають, що система нестійка.

Оцінка параметрів динамічної моделі. Модель мобілізації вико­ристовувалася для вивчення динаміки кількості голосів, поданих за демократичну партію США в Лейк Кантрі (штат Індіана) за період 1920–1968 рр.

Для оцінки кількісних значень коефіцієнтів моделі засто­со­ву­вався метод найменших квадратів. Різницеве рівняння (2.11) роз­гля­далося як лінійне регресійне рівняння

де – частка виборців у Лейк Кантрі, які голосують за кан­дидатів від демократичної партії за рік – частка голосуючих за демократів за рік ,

За допомогою методу найменших квадратів отримано наступні значення коефіцієнтів:

За формулою (2.15) обчислюємо стан рівноваги:

Рис. 2.26. Динаміка голосуючих за демократів у Лейк Кантрі (1920–1968 рр.)

На рис. 2.26(а, б) наведено графіки функції для голосуючих за демократів на президентських виборах у Лейк Кантрі (1920–1968): а – значення функції спостережень, б – розв’язки різницевого рів­няння (2.10) при

Порівняння графіків на рис. 2.26(а) і 2.26(б) показує, що різницеве рівняння (2.10) досить добре описує якісні характеристики процесу мобілізації. Зрозуміло, що модель (2.10) є надзвичайно спрощеною, а реалістичні моделі вимагають урахування великої кількості факторів та нелінійних співвідношень, однак для розуміння поведінки систем іноді достатньо вивчити прості варіанти моделі.