3.1.2. Аналіз нелінійної системи з дискретним часом

Дотримуючись процедури побудови перетину Пуанкаре, дослідимо відповідність між видом перетину Пуанкаре атрактора і динамічними властивостями розв’язку. Якщо розв’язок періодичний, тоді фазова тра­єкторія є замкнутою орбітою – граничним циклом. Відповідний перетин Пуанкаре дуже простий: це одна або кілька точок.

Нагадаємо, що коли потік є дуже дисипативним і спричиняє швид­ке скорочення площі перетину, його перетин Пуанкаре (наприклад, у тривимірному випадку) практично можна розглядати як множину то­чок, розподілених уздовж якоїсь кривої (відрізка прямої, дуги кривої і т. ін.). Тоді ми можемо визначити координату x для кожної точки на кривій і досліджувати, як змінюється x з часом. Відо­бра­ження Пуан­каре на такому одновимірному графіку називається відображенням першого повернення. Отже, природним узагальненням дослідження пе­ретину Пуанкаре є аналіз відображення першого повернення x_n+1 = f(x_n), n > 1, що виражає залежність між координатами поточної та попередньої точок. Класичними засобами дослідження одновимірного відображення є графіки на площині (x_n, x_n+1). Ймовірно, найпростіша крива, яка призводить до нетривіальних результатів, відповідає так званому логістичному відображенню

(2.7)

Рівнянням (2.7) на площині задається квадратична парабола. Про­цедуру побудови відображення першого повернення представлено на рис. 2.11. За відомим початковим значенням x₁ знайдемо x₂, від­но­вивши перпендикуляр до осі x_n у точці x₁ до перетину з параболою. Приймемо значення x₂ за початкове. Для цього проведемо через точку на осі x_n+1 штрихову пряму до перетину з бісектрисою кута між осями x_n+1 і x_n і з точки перетину опустимо перпендикуляр на вісь x_n.

Одержимо нове початкове значення x₂. Повторюючи процес за опи­саною схемою, знайдемо x₃, x₄ і т. д. Ця процедура називається по­бу­довою сходів Ламерея.

Неважко переконатися, що у випадку логістичного відображення, якщо 4, то всі значення x_n лежать на відрізку [0,1] за умови, що

Рис. 2.11. Процедура побудови сходів Ламерея

Розглянемо поведінку послідовності {x_n} при різних значеннях параметра

1.  Припустимо, що 0 < < 1. Знайдемо значення нерухомої точки x* з рівняння x* = x*(1 - x*). У цьому випадку існує тільки один не­від’ємний розв’язок: x* = 0. Усі розв’язки, початковими умовами яких є значення x₀ з інтервалу 0 < x₁ < 1, наближаються до x*.

Областю наближення x^* = 0 буде весь інтервал (0,1). Графічно по­слідовність {x_n} зображено на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Сходи Ламерея логістичного відображення ( = 0,5)

Процес дослідження системи може бути здійснений за допомогою електронної таблиці Ехсеl. Нехай = 0,5, x₁ = 0,8. Запустимо Ехсеl. У вікні, що розкрилося, з’явиться таблиця. Введемо в комірку А1 зна­чення x₁ = 0,8. У комірку А2 введемо формулу для x₂ у такому вигляді: = 0,5*А1*(1 – А1). Тепер скопіюємо формулу, щоб отримати для всіх x відповідні їм значення (для n, що зростає, наприклад, до 10). Для цього треба підвести курсор до правого нижнього кута комірки А2 так, щоб він перетворився на чорний хрестик, і, натиснувши ліву кноп­ку миші, протягти курсор до комірки А10. Стовпчик А запов­нить­ся числами (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Фрагмент вікна Ехсеl

Пари (n, x_n) задають послідовність точок, зображену на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Графічне представлення послідовності ( = 0,5)

2.  Припустимо, що 1 < < 3. Як видно з рис. 2.15, послідовність {x_n} сходиться до ненульового значення x*, що може бути знайдене рівнянням x* = x*(1 – x^*). Усі точки, які задовольняють цьому рів­нянню, будемо називати нерухомими точками, тому що x₁ = x*, x₂ = x^*, ..., x_n = x* при будь-якому n. При < 1 квадратне рівняння (x*)² + x*(1 – ) = 0 має один невід’ємний корінь: x^* = 0. При > 1 не­від’ємних коренів два: x^*= 0 і x* = ( – 1) / . Отже, при = 1 від­бу­вається біфуркація: нерухома точка x* = 0 втрачає стійкість, а нова точ­ка, що з’явилася, стає стійкою.

Стійкість нерухомої точки x^* = f(x*) можна визначити в такий спо­сіб. Нехай x_n = x* + x_n, де – мале число. Якщо точка стійка, то зі збільшенням n величина | | повинна зменшуватися. Викорис­товую­чи розкладання функції в ряд Тейлора і нехтуючи членами, про­пор­ційними ( )², ( )³ і т. д., одержимо оцінку для :

Для того щоб 0, має виконуватися нерівність

(2.8)

Рис. 2.15. Сходи Ламерея логістичного відображення ( = 2,9; x₁ = 0,1)

Неважко переконатися, що

Значення в розглянутому випадку більше одиниці. Тому точка x* = 0 втрачає стійкість. Обчислення значення похідної функції f(x) = x(1 – x) у точці x^* = ( – 1)/ приводить до нерівності – 2 < 1. От­же, цей розв’язок буде стійким для всіх 1 < < 3.

Корисно проекспериментувати, застосовуючи програму Ехсеl, з різними значеннями параметра із зазначеного інтервалу і різних початкових станів x₁. Графіки поведінки розв’язків рівняння (2.7) при = 2 і x₁ = 0,1; 0,4; 0,8 представлено на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Наближення до стану рівноваги при різних початкових умовах ( = 2)

3.  Нехай тепер 3 < < 3,449... Чисельний аналіз рівняння (2.7) при значенні  = 3,2 (x₁ = 0,8) показує, що в системі встановлюються пе­ріо­дичні коливання (рис. 2.7).

Рис. 2.17. Періодичні коливання (  = 3,2)

Поведінки системи якісно змінилася. У цьому випадку послі­дов­ність {x_n} виглядає так, що x_2n+1 —> a₁, x_2n —> а₂ при n —> . Ці числа зв’язані співвідношеннями а₁ = f(а₂), а₂ = f(а₁). Тоді кажуть, що відображення (2.7) має стійкий цикл із періодом 2 і позначають його S² (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Подвійний цикл S²

Перехід від нерухомої точки (її можна вважати циклом S¹) до циклу S² відбувся в результаті біфуркації, що має назву біфуркації подвоєння періоду. Точка x* при цьому не зникла і залишилася нерухомою, однак величина

стала більше одиниці.

Знайдемо нерухомі точки відображення (2.7) і дослідимо їхню стій­кість. Для цього розв’яжемо рівняння f ( f (x*))= x^*, яке для f (x) = x(1 – x) набуде такого вигляду:

(2.9)

Два корені наведеного рівняння четвертого ступеня нам відомі. Це x₁* = 0 і x₂* = ( – 1) / . Розділивши формулу (2.9) на x^* і на (x* – (  – 1) / ), отримаємо квадратне рівняння коренями якого є

Умова стійкості циклу S² визначається за формулою:

яка випливає з нерівності (2.8) і правил диференціювання складної функції.

У розглянутому випадку

Отже, умова стійкості приводить до нерівності що ви­конується для всіх 3 < < 1 +

4.  При подальшому збільшенні параметра послідовність {x_n} знову змінюється. Так, при  = 3,449... (  = 1 +  ) виникає цикл S⁴: , при (рис. 2.19). При цьому в системі встановлюються періодичні коливання з періодом 4 (рис. 2.20).

Рис. 2.19. Стійкий цикл S⁴

Рис. 2.20. Коливання з періодом 4 ( = 3,5)

Послідовно збільшуючи параметр , ми побачимо цикли S⁸, S¹⁶, S³², S⁶⁴, S¹²⁸, S²⁵⁶ і т. д. При цьому кожен цикл S^2p втрачає стійкість і стійким стає цикл S^2p+1. Нарешті, при значенні = 3,5699... (його іноді позначають ) формула (2.7) дає вже неперіодичну послідовність {x_n}. Поведінка виглядає випадковою. Насправді ж ця загадкова по­ве­дінка цілком визначена детермінованим законом (2.7). Неперіодичний, випадковий процес виникає як границя усе більш складних структур (циклів S^2p). Отже, хаос виникає як надскладна організація (цикл ) (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Аперіодичний цикл

Хаотична поведінка надзвичайно чутлива до зміни початкових даних. Зміна x₁ на одну мільйонну може істотно вплинути на процес розв’язку. На рис. 2.22 представлено графіки розв’язків рівняння (2.7) при x₁ = 0,8 і x₁ = 0,800 01 відповідно ( = 3,9). Як видно з графіків, близькі траєкторії зі зростанням n починають дуже розходитися.

Рис. 2.22. Чутливість системи до початкових даних ( = 3,9)

Відповідний хаотичний режим на фазовій площині представлено на рис. 2.23.

Рис. 2.23. Хаотичний режим на фазовій площині ( = 3,9; x₁ = 0,8)

Позначимо через ... ті значення параметра , при яких відбувалося подвоєння періоду. У 1971 р. американський вчений М. Фейгенбаум відкрив цікаву закономірність: послідовність утво­рить зростаючу послідовність, яка швидко сходиться до точки нако­пи­чення  = 3,5699... Різниця значень , що відповідають двом послі­дов­ним біфуркаціям, зменшується щоразу з приблизно однаковим кое­фіцієнтом:

Знаменник прогресії  = 4,6692... нині називається постійною Фей­генбаума. За точкою накопичення аперіодичні та періодичні ат­рактори чергуються (рис. 2.24).

Рис. 2.24. Біфуркаційна діаграма

У 1978 р. М. Фейгенбаум відкрив, що сценарій переходу до хаосу через нескінченний каскад біфуркацій подвоєння періоду є універ­саль­ним для великого класу динамічних систем. Сценарій Фей­ген­бау­ма стали виявляти в системах різної природи – у фізиці, хімії, біології, екології і т. ін. Каскад біфуркацій у соціальній сфері аналізується, наприклад, у працях американського дослідника Т. Янга.

Незалежно від конкретного виду системи та її складності теорія універсальності Фейгенбаума дає кількісні передбачення. Константа і ряд інших констант виступають як універсальні константи, такі ж, як або е. Отже, ця теорія встановила, що великий клас нелінійних явищ демонструє не тільки однакову якісну поведінку, а й уні­вер­сальні кількісні закономірності.

Пізніше було виявлено ще кілька універсальних сценаріїв переходу до хаосу. Роботи останніх років дозволяють припустити, що в при­ро­ді, як правило, реалізовується всього кілька універсальних сценаріїв. Це величезний крок до розуміння внутрішньої єдності нелінійних явищ.