3.Расчёт на единичное воздействие

1. Угловое перемещение

1. Основной системе сообщаем единичное перемещение , в результате чего возникает изгиб стоек рамы (рис.3.2,а), в стойках появляются изгибающие моменты.

2. Рассматриваем стойку рамы в отдельности (рис.3.2,б). Определяем опорные реакции верха стойки по формулам из справочной таблицы:

3. Находим ординаты эпюры моментов в стойке, учитывая принятое правило знаков:

4. Изгибающий момент в ригеле определяем по формуле из традиционных таблиц метода перемещений:

5. По найденным ординатам строим единичную эпюру моментов в О.С.М.П. (рис.3.2,в).

6. Рассматривая равновесие верхнего узла рамы, находим реакцию в наложенной связи r₁₁ от единичного воздействия (рис.3.2,г):

• Положительной считается реакция, направленная в сторону неизвестного перемещения.

Рис. 3.2. Расчёт на угловое единичное перемещение.

2. Линейное перемещение

1. Основной системе сообщаем единичное перемещение . Ригель рамы принимаем абсолютно жестким (рис. 3.3,а).

2. По формуле из таблицы определяем опорные реакции верха стойки, рассматривая её в отдельности (рис. 3.3,б):

3. Находим ординаты эпюры моментов в стойке, учитывая принятое правило знаков:

4. По найденным ординатам строим единичную эпюру моментов в О.С.М.П. (рис.3.3,в).

5. Рассматривая равновесие верхней отсечённой части рамы, находим реакцию в наложенной связи r_11() от единичного воздействия (рис.3.3,г):

r_11() = 2R_∆ = 210,097 EJ = 20,194 EJ.

Рис. 3.3. Расчёт на линейное единичное перемещение.

4.Расчет на действие постоянной нагрузки

1. Указываем схему приложения и величину нагрузки: (рис.3.4,а):

P₁ = 231,19 кН; Р₂ = 257,43 кН;

Р₃ = 159,96 кН; М_Р2 = 176,90 кНм.

2. Рассматриваем отдельную стойку, находящуюся под воздействием сосредоточенного момента. Определяем опорные реакции верха стойки по формулам из таблицы (рис.3.4,б):

где

3. Определяем ординаты грузовой эпюры моментов в характерных сечениях колонны, используя принцип независимости действия сил:

М₁ = М_М = 37,61 кНм;

М₂₁ = М_М – R_MН_в = 37,609 – 16,7905,75 = -58,93 кНм;

М₂₃ = М_М – R_MН_в + М_Р2= 37,609 – 16,7905,75 + 176,90 = 117,97 кНм;

М₃ = М_М – R_MН + М_Р2 = 37,609 – 16,79015,20 + 176,90 = -40,70 кНм.

Момент на опоре ригеля:

Момент в середине пролёта ригеля:

4. Найденные ординаты откладываем на стойках и ригеле рамы, в результате получаем грузовую эпюру моментов М_р в О.С.М.П. (рис.3.4,в).

5. Рассматривая равновесие верхнего узла рамы, находим реакцию в наложенной связи R_1p от воздействия постоянной нагрузки (рис.3.4,г):

R_1p = - (M₁ + M₀) = - (37,61 + 924,96) = -962,57 кН.

6. Из решения канонического уравнения находим неизвестное перемещение:

7. Вычисляем ординаты окончательной эпюры моментов, используя формулу:

М₁ = -341,730,411 + 37,61 = -102,84 кНм;

М₂₁ = -80,030,411 – 58,93 = -91,83 кНм;

М₂₃ = -80,030,411 +117,97 = 85,07 кНм;

М₃ = 350,070,411 – 40,70 =103,16 кНм;

М₀ = 20000,411 – 924,96 = -102,96 кНм;

М_r = 20000,411 + 462,48 = 359,52 кНм.

8. По найденным значениям строим окончательную эпюру моментов М, кНм (рис.3.4,д).

Проверкой правильности построения эпюры является соблюдение условий равновесия узла рамы: М₀ = М₁.

Проверка выполняется: 102,84  102,96 кНм.

9. Строим эпюру поперечных сил Q в раме (рис.3.4,е).

• Поперечная сила Q на участке определяется как тангенс угла наклона эпюры М к продольной оси стержня.

• Поперечная сила Q на участке положительная (знак «+» на эпюре Q), если кратчайшее направление вращения продольной оси стержня до совмещения с эпюрой М происходит по часовой стрелке.

Максимальная поперечная сила возникает на опоре ригеля:

Q₀ = P₁ = 231,19 кН.

Поперечные силы на уровне верха и низа колонны:

Проверка: Q₁ = Q₃ = 1,91 кН. Проверка выполняется.

Рис.3.4. Расчёт на действие постоянной нагрузки.

10. Строим эпюру продольных сил N в раме (рис.3.4,ж).

Продольное усилие в ригеле N_r находим, рассматривая равновесие верхнего узла рамы.

Правило знаков: положительная продольная сила растягивает стержень; положительная поперечная сила вращает узел по часовой стрелке.

N_r = Q₁ = 1,91 кН.

Ординаты эпюры N в стойках находим, суммируя действующие сосредоточенные усилия:

N₁ = P₁ = 231,19 кН;

N₂ = P₁ + P₂ = 231,19 + 257,43 = 488,62 кН;

N₃=P₁ + P₂ + P₃ = 231,19 + 257,43 + 159,96 = 648,58 кН.