Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения осталь­ных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на

• внешние и

• внутренние.

Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними.

К внешним силам относятся силы, действу­ющие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давления, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной массы системы

масса отдельных точек механической системы.

Движение системы зависит и от положения центра масс систе­мы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обыч­но считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы толь­ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви­жутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

где т — суммарная масса тела; а_с — ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

О сновное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами Δm_k. Каждая точ­ка движется по окружности радиуса r_k c касательным ускорением а_k^t = εr_k и нормальным ускорением

где ε — угловое уско­рение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вра­щения должна быть равна нулю:

где Mz — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F_инkⁿ равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Величина

называется моментом инерции тела относи­тельно оси вращения и обозначается

В результате получим выраже­ние основного уравнения динамики вращающего тела:

где Mz — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угло­вое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ [Jz\ = [тг2] = кг-м2.

Видно, что значение момента инерции зависит от распределе­ния массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4)

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис. 17.5)

М омент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

Момент инерции шара (рис. 17.7)