Примеры решения задач

П ример 1. На тело в форме куба с ребром а = 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

Решение

1. Моменты сил относительно оси Ох:

2. Моменты сил относительно оси Оу.

Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, г₁ = 0,4 м; г₂ = 0,8 м. Остальные размеры — на рис. 7.7. К коле­су 1 приложена сила F₁, к колесу 2 — силы F₂ = 12 кН, F₃ = 4кН.

Определить силу F₁ и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.

Напомним:

1. При равновесии выполняются шесть урав­нений равновесия.

Уравнения моментов следует составлять относи­тельно опор А и В.

2. Силы F₂\\Ox; F₂\\Oy; F₃\\Oy.

Моменты этих сил относительно соответству­ющих осей равны нулю.

3. Р асчет следует завершить проверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.

Решение

1. Определяем силу F\, составив уравнение моментов сил отно­сительно оси Oz:

2. Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две со­ставляющие реакции (Y_A; X_A).

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох' (в опоре В).

Поворот вокруг оси Ох' не происходит:

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противополож­ную сторону.

Поворот вокруг оси Оу' не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу' (в опоре В):

3.Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две со­ставляющие реакции (X_B, Y_B). Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох (опора А):

Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):

4.Проверка. Используем уравнения проекций:

Расчёт выполнен верно.

Пример 3. Определить численное значение силы P₁, при котором вал ВС (рис. 1.21, а) будет находиться в равновесии. При найденном значении силы Р₁ определить опорные реакции.

Д ействующие на зубчатые колеса силы Р и Р₁ направлены по касательным к на­чальным окружно­стям колес; силы Т и Т₁ — по радиусам колес; силы А₁ па­раллельны оси вала. Т = 0,36Р, 7Т₁ = Р₁; А₁ = 0,12P₁.

Решение

Опоры вала, изображенные на рис. 1.21, а, надо рассматривать как пространственные шарнирные опоры, препятствующие линейным перемеще­ниям в направлениях осей и и v (выбранная система координат показана на рис. 1.21, б).

Освобождаем вал от связей и заменяем их действие реакциями V_В, Н_В, V_C, Н_С (рис. 1.21, б). Получили прост­ранственную систему сил, для которой составляем урав­нения равновесия, пользуясь выбранной системой коор­динат (рис. 1.21,6):

где А₁*1,25D/2 — момент относительно оси и силы A₁, приложенной к правому зубчатому колесу.

Моменты относительно оси и сил Т₁ и А₁ (приложен­ных к среднему зубчатому колесу), Р₁ (приложенной к правому зубчатому колесу) и Р равны нулю, так как силы Р, T₁, Р₁ параллельны оси и, а сила А₁ пересекает ось и.

откуда V_С = 0,37P;

или

откуда V_B=0,37P.

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции V_B и V_С определены верно;

где А₁* 1,25D/2 — момент относительно оси v силы А₁, приложенной к среднему зубчатому колесу.

Моменты относительно оси v сил Т, Р₁ (приложенной к среднему зубчатому колесу), А₁ и Т₁ (приложенных к правому зубчатому колесу) равны нулю, так как силы Т, Р₁, Т₁ параллельны оси v, сила А₁ пересекает ось v.

откуда H_C = 0,81Р;

или

откуда H_С = 1,274Р

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции Н_В и Н_С определены верно.

В заключение отметим, что опорные реакции получи­лись со знаком плюс. Это указывает на то, что выбран­ные направления V_B, Н_В, V_C и Н_С совпадают с действи­тельными направлениями реакций связей.

П ример 4. Сила давления шатуна парового дви­гателя Р = 25 кН передается на середину шейки колен­чатого вала в точке D под углом α = 30° к горизонту при вертикальном расположении щек колена (рис. 1.22). На конец вала насажен шкив ременной передачи. Натя­жение ведущей ветви ремня в два раза больше, чем ведомой, т.е. S₁ = 2S₂. Сила тяжести маховика G = 10 кН.

Определить натяжения ветвей ременной передачи и реакции подшипников А и В, пренебрегая массой вала.