2. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину , где s – несмещенное среднее квадратическое отклонение. Величина T имеет распределение Стьюдента с k=n-1 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Делается это так, как описано выше.

Первый случай. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀.

Конкурирующая гипотеза H₁: .

Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: a=a₀ о равенстве неизвестной генеральной средней a (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией), предполагаемому значению a₀ при конкурирующей гипотезе

H₁: , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по табл. 9 критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. По выборке объема n=25, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя и несмещенное среднее квадратическое отклонение s=5,6. Требуется при уровне значимости α=0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: a=a₀=16, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: .

Решение. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀=16,

конкурирующая гипотеза H₁: .

Вычислим наблюдаемое значение критерия: .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя. Зная уровень значимости α=0,05 и число степеней свободы k=n-1=25-1=24 по верхней строке табл. 9 критических точек распределения Стьюдента находим . Так как , , то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Выборочная средняя незначительно отличается от предполагаемой генеральной средней.

Второй случай. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀.

Конкурирующая гипотеза H₁: .

При конкурирующей гипотезе H₁: по уровню значимости α, помещенному в нижней строке табл. 4, и числу степеней свободы k=n-1 находят критическую точку правосторонней критической области.

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀.

Конкурирующая гипотеза H₁: .

При конкурирующей гипотезе H₁: сначала находят «вспомогательную» критическую точку и полагают границу левосторонней критической области .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Контрольные вопросы:

1. В каком случае оценку параметров распределения называют несмещенной?

2. В каком случае оценку параметров распределения называют состоятельной?

3. Что называется статистической гипотезой, нулевой (основной) гипотезой, конкурирующей (альтернативной) гипотезой?

4. Охарактеризуйте ошибки первого и второго рода.

5. Опишите статистический критерий проверки нулевой гипотезы.

6. Дайте определение понятий «критическая область», «область принятия гипотезы», «критическая точка».

7. В чем состоит основной принцип проверки статистических гипотез?

8. Охарактеризуйте случаи, возникающие при сравнении несмещенной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

9. Охарактеризуйте случаи, возникающие при сравнении выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

13