Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

1. Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная средняя a неизвестна, но есть основания считать, что она равна предполагаемому значению a₀. Чтобы проверить это предположение из нормальной совокупности, извлекают выборку объема n и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия известна. Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: a=a₀ о равенстве генеральной средней a предполагаемому значению a₀.

В качестве критерия проверки принимают случайную величину

, которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы M(U)=0, σ(U)=1.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы находят критическую область.

Первый случай. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀.

Конкурирующая гипотеза H₁: .

Вычисляют наблюдаемое значение критерия .

Исходя из вида конкурирующей гипотезы строят двустороннюю критическую область. Из табл. 4 приложения (значения функции Лапласа) находят критическую точку по равенству .

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ=0,49 извлечена выборка объема n=49 и по ней найдена выборочная средняя . Требуется при уровне значимости α=0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: a=a₀=35, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: .

Решение. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀=35,

конкурирующая гипотеза H₁: .

Найдем наблюдаемое значение критерия .

Исходя из вида конкурирующей гипотезы делаем вывод, что критическая область двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства: . По табл. 4 значений функции Лапласа находим =1,96.

Так как , , >1,96, то нулевую гипотезу отвергаем. Значит, выборочная и генеральная средние отличаются значимо.

Второй случай. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀.

Конкурирующая гипотеза H₁: .

Вычисляют наблюдаемое значение критерия .

Критическую точку правосторонней области находят по равенству из табл. 4 приложения (значения функции Лапласа).

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ=0,49 извлечена выборка объема n=49 и по ней найдена выборочная средняя . Требуется при уровне значимости α=0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: a=a₀=35, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: .

Решение. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀=35,

конкурирующая гипотеза H₁: .

Наблюдаемое значение критерия .

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область правосторонняя.

Найдем критическую точку из уравнения . По таблице значений функции Лапласа находим =1,65.

Так как > , то нулевую гипотезу отвергаем. Различие между выборочной и предполагаемой генеральной средней – значимое.

Третий случай. Нулевая гипотеза H₀: a=a₀.

Конкурирующая гипотеза H₁: .

Вычисляют наблюдаемое значение критерия .

Сначала находят критическую точку таким образом, как это описано во втором случае, а затем полагают границу левосторонней критической области

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.