Сравнение несмещенной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, при этом генеральная дисперсия неизвестна, но есть основания предполагать, что она равна предполагаемому значению .

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена несмещенная выборочная дисперсия s² c k=n-1 степенями свободы. Требуется по несмещенной выборочной дисперсии при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия равна предполагаемому значению .

Учитывая, что s² является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так: H₀: M(s²)= . То есть требуется установить значимо или незначимо различаются несмещенная выборочная и предполагаемая генеральная дисперсии.

В качестве проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину (хи-квадрат). Эта величина случайная, потому что для разных выборок s² принимает различные значения.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза H₀: .

Конкурирующая гипотеза H₁: .

Для того чтобы на заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии предполагаемому значению при конкурирующей гипотезе

H₁: надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по табл. 8 (прил.) критических точек распределения , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку .

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=13 и по ней найдена несмещенная выборочная дисперсия s²=10,3. Требуется при уровне значимости α=0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: =12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: .

Решение. Нулевая гипотеза H₀: =12,

конкурирующая гипотеза H₁: .

Исходя из вида конкурирующей гипотезы делаем вывод, что критическая область – правосторонняя.

Найдем наблюдаемое значение критерия =10,3.

Из табл. 8 приложения находим критическую точку, зная уровень значимости α=0,01, число степеней свободы k=n-1=13-1=12: .

Так как , 10,3<26,2, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. То есть различие между несмещенной выборочной дисперсией и предполагаемой дисперсией генеральной совокупности 12 – незначительное.

Второй случай. Нулевая гипотеза H₀: .

Конкурирующая гипотеза H₁: .

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.

Критические точки – левую и правую границы критической области – находят так, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна : , .

В табл. 8 критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому для отыскания «левой» критической точки поступают следующим образом. События и противоположны и, значит, сумма их вероятностей равна единице: P( )+P( )=1.

Отсюда P( )=1- P( )=1- .

Значит, левую критическую точку можно искать, исходя из требования, что вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1- .

Правило. Для того что при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности предполагаемому значению при конкурирующей гипотезе H₁: , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти левую критическую точку и правую критическую точку .

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если или - нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=13 и по ней найдена несмещенная выборочная дисперсия s²=15,6. Требуется при уровне значимости α=0,02 проверить нулевую гипотезу H₀: =12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: .

Решение. Нулевая гипотеза H₀: =12,

конкурирующая гипотеза H₁: .

Исходя из вида конкурирующей гипотезы делаем вывод, что критическая область – двусторонняя.

Найдем наблюдаемое значение критерия =15,6.

Из табл. 8 приложения находим критические точки, зная уровень значимости α=0,02, число степеней свободы k=n-1=13-1=12: , .

Так как наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия решения , 3,57<15,6<26,2, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Значит, несмещенная выборочная дисперсия 15,6 незначительно отличается от предполагаемой 12.

Третий случай. Нулевая гипотеза H₀: .

Конкурирующая гипотеза H₁: .

В этом случае строят левостороннюю критическую область. Из табл. 8 приложения находят критическую точку .

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.