2. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром λ, если плотность распределения имеет вид: f(x)= , где λ-параметр, λ>0.

Кратко записывают так: ξ Е(λ).

График плотности распределения выглядит следующим образом:

f(x)

λ

0 x

Функция распределения показательно распределенной случайной величины такая:

F(x)=

F (x)

1

0 x

Вычислим числовые характеристики показательно распределенной с.в.

М_ξ= =

0- .

М_ξ=

D_ξ=M_ξ²-(М_ξ)²=

То есть D_ξ=

Пример. Функция распределения времени (ч) безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид:

F(x)=

Найти: 1. плотность распределения; 2. математическое ожидание.

Решение. 1. Параметр показательно распределенной с.в. равен λ=0,0001. Тогда плотность с. в. записывается следующим образом: f(x)= .

2. Математическое ожидание показательно распределенной с.в. вычисляется по формуле: М_ξ= = (ч)

3. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами λ и σ>0, если ее плотность распределения имеет вид:

f(x)= .

f(x)

0 a-σ a a+σ x

Если случайная величина имеет нормальное распределение, то кратко это записывают так: ξ N(λ,σ).

Нормальный закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов особое положение. Это наиболее часто встречаемый на практике закон распределения.

Смысл параметров λ и σ состоит в том, что λ – это математическое ожидание с.в. ξ , а σ – это среднее квадратическое отклонение.

Вероятность того, что с.в. ξ находится в интервале (a,b), выражается через плотность распределения P(a<ξ<b)= , где Ф(x) – функция Лапласа.

То есть P(a<ξ<b)= .

Пример. С.в. ξ имеет нормальное распределение с параметрами λ=12 и σ=2. Найти плотность распределения и P(14<ξ<16).

Решение. Плотность нормально распределенной с.в. f(x)= = .

P(14<ξ<16)= = =

=0,4772-0,3413=0,1359.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение понятий «случайная величина», «дискретная случайная величина», «непрерывная случайная величина».

2. Перечислите способы задания дискретной случайной величины.

3. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Перечислите и обоснуйте свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

4. Что называется дисперсией дискретной случайной величины? Перечислите и обоснуйте свойства дисперсии дискретной случайной величины.

5. Перечислите и охарактеризуйте виды распределений дискретных случайных величин и их числовые характеристики.

6. Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины? Перечислите и обоснуйте свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.

7. Что называется дисперсией непрерывной случайной величины? Перечислите и обоснуйте свойства дисперсии непрерывной случайной величины.

8. Что называется средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины?

9. Перечислите и охарактеризуйте виды распределений непрерывных случайных величин и их числовые характеристики.

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

16