Виды распределений дискретных случайных величин и их числовые характеристики

1. Распределение Бернулли

Пусть проводится одно испытание, в ходе которого некоторое событие может произойти с вероятностью р и не произойти с вероятностью q=1-р, то дискретная с.в. X – число появлений события имеет распределение Бернулли.

Тогда закон распределения с.в. X следующий:

X:	0	1
	q	p

Найдем ожидание с.в.X: М_x=0·q+1·p=p.

Вычислим дисперсию D_x=M_x²-(M_x)². Закон распределения X² следующий:

X2:	0	1
	q	p

Тогда D_x=0·q+1·p-p²=р-p²=р·(1-р)=р·q.

Таким образом, у дискретной с.в, имеющей распределение Бернулли М_x=p, D_x=рq.

2. Биномиальное распределение

Если проводится серия из n независимых испытаний, где некоторое событие может произойти в одном испытании с вероятностью р и не произойти с вероятностью q=1-р, то дискретная с.в. X – число появлений события в серии из n независимых испытаний имеет биномиальное распределение. С.в. X принимает целые неотрицательные значения (0,1,2,3,4,5,…,n), вероятность того, что с.в. X принимает значение k, определяется по формуле Бернулли: Р_n(x=k)= р^kq^n-k.

X:	0	1	2	…	n
	p0	p1	P2	…	pn

p_k=Р_n(x=k)= р^kq^n-k, =1.

Математическое ожидание с.в. X, имеющей биномиальное распределение, равно М_x=np.

Дисперсия с.в. X, имеющей биномиальное распределение, равна D_x=npq.

3. Распределение Пуассона

Если проводится серия из n независимых испытаний (n≥100), где некоторое событие может произойти в одном испытании с вероятностью р и не произойти с вероятностью q=1-р, то дискретная с.в. X – число появлений события в серии из n независимых испытаний имеет распределение Пуассона. С.в. X принимает целые неотрицательные значения (0,1,2,3,4,5,…,n), вероятность того, что с.в. X принимает значение k, определяется по формуле Пуассона: Р_n(x=k)= , где λ=np.

X:	0	1	2	…	n
	p0	p1	P2	…	pn

p_k=Р_n(x=k)= , =1.

Математическое ожидание с.в. X, имеющей распределение Пуассона, равно М_x=λ=np.

Дисперсия с.в. X, имеющей распределение Пуассона, равна D_x=λ=np.

Пример. Футболист бьет 5 раз пенальти. Вероятность забить при одном ударе равна 0,7. Какова вероятность забить 3 мяча более 2 мячей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа забитых пенальти.

Решение. Проводится серия из 5 независимых испытаний. «Успехом» является забитое при одном ударе пенальти, р=0,7, q=0,3. Обозначим за X – число забитых пенальти. С.в. X имеет биномиальное распределение. Тогда М_x=np=5·0,7=3,5, D_x=npq=5·0,7·0,3=1,05.

Р₅(x=3)= р³q²=

Р₅(x>2)=Р₅(x=3)+Р₅(x=4)+Р₅(x=5)= р³q²+ р⁴q+ р⁵q⁰=0,83692

Пример. X – число звонков, принимаемых по домашнему телефону, имеет распределение Пуассона. Среднее число звонков, принимаемых за час, λ=5. Какова вероятность, того, что за час будет принято точно 3 звонка? Более 2?

Решение. Поскольку среднее число звонков принимаемых за час равно 5, то М_x= λ=5. Тогда, Р(x=3)= ,

Р(x>2)=1-Р(x 2)=1- =1- =1-0,1247=0,8753.