Методические указания к проведению лекционного занятия Темы №7.9. – 7.11. Дискретные и непрерывные случайные величины
План:
Случайные величины
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины
1. Случайные величины
Определение. Случайной величиной (с.в.) называется величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Примером случайной
величины является оценка на экзамене,
которая может принимать значения: 2, 3,
4, 5; продолжительность работы телевизора
до выхода из строя – величина
неотрицательная, в принципе ничем
неограниченная (x
0).
Случайные величины, как правило, обозначают греческими буквами ξ, η.
В зависимости от того, какие значения принимает случайная величина, их делят на дискретные и непрерывные.
Определение. Дискретная случайная величина – величина, принимающая значения из конечного или счетного множества.
Например, с.в. ξ – число человек на остановке в течение минуты. Может принимать значения ξ: 2; 3; 4; 5; …; 12.
η – сумма очков при бросании двух игральных костей, принимает значения η: 2; 3; 4; 5; …; 12.
Определение. Непрерывной случайной величиной называется величина, принимающая значения из несчетного множества.
Примером непрерывной
с.в. может служить ξ – время ожидания
одним студентом другого (ч), ξ
Рассмотрим дискретные случайные величины.
2. Дискретные случайные величины Способы задания дискретной случайной величины
Существует два способа задания дискретной с.в.
1. Закон распределения с.в.
Выше был приведен пример, когда две различные случайные величины: ξ – число человек на остановке в минуты и η – сумма очков при бросании двух игральных костей принимают одинаковые значения. Поэтому для задания случайной величины недостаточно знать ее значения, необходимо указать вероятность, с которой этой значение принимается.
Определение. Правило, по которому каждому значению с.в. xi ставится в соответствие вероятность рi , с которой это значение принимается, называется законом распределения дискретной с.в.
Закон распределения дискретной с.в. отражается в таблице:
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
p1 |
p2 |
p3 |
… |
pn |
Поскольку события
{ξ=x1},
{ξ=x2},
{ξ=x3},
…, {ξ=xn}
несовместны (если с.в. принимает значение
xi
, то она не
может одновременно принимать любое
другое значение) и составляют всю
совокупность элементарных исходов, то
.
Пример. Абитуриент сдает два вступительных экзамена: по математике и по физике. Составить закон распределения с.в. ξ – числа, полученных пятерок, если вероятность получения «5» по математике – 0,8, а по физике – 0,6.
Решение. Р{«5» по математике}=0,8
Р{«5» по физике}=0,6
С.в. ξ – число, полученных пятерок на двух экзаменах может быть равным 0, 1, 2 .
Составим закон распределения ξ:
ξi |
0 |
1 |
2 |
pi |
p1 |
p2 |
p3 |
p1=Р{ξ=0}=0,2·0,4=0,08
p2=Р{ξ=1}=0,2·0,6+0,8·0,4=0,44
p3=Р{ξ=2}=0,8·0,6=0,48
Тогда закон распределения ξ:
ξi |
0 |
1 |
2 |
pi |
0,08 |
0,44 |
0,48 |
Проверим, что
.
0,08+0,44+0,48=1.
2. Второй способ задания дискретной с.в. - функция распределения.
Определение. Функция распределения F(x) – это вероятность того, что случайная величина ξ примет значение меньшее x: F(x)=P(ξ<x).
Пусть дискретная с.в. задана законом распределения:
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
p1 |
p2 |
p3 |
… |
pn |
Найдем значения функции распределения F(x) в зависимости от значения x.
Если x
,
то F(x)=
P(ξ<x)=0
– ξ не может принимать значения, меньшие
x1.
Если x
,
то F(x)=
P(ξ<x)=P{ξ=
x1}=p1
Если x
,
то F(x)=
P(ξ<x)=P{ξ=x1}+P{ξ=x2}=p1+p2
…
Если x
,
то
F(x)= P(ξ<x)=P{ξ=x1}+P{ξ=x2}+…+P{ξ=xn-1}=p1+p2+…+pn-1
Если x
,
то
F(x)=P(ξ<x)=P{ξ=x1}+P{ξ=x2}+…+P{ξ=xn-1}+P{ξ=xn-1}=p1+p2+ … +pn-1+ pn =1
Таким образом,
F(x)=
Построим график функции распределения.
F
(x)
1
p1+p2+…+pn-1
…
p1+p2
p1
0 x1 x2 x3 …xn-1 xn x
Свойства функции распределения:
F(-∞)=0, F(+∞)=1;
неубывающая;
график функции является ступенчатым. Принимает постоянное значение на (xi-1;xi] и терпит скачок в точках x1, x2, x3,…, xn, равный pi
Пример. Абитуриент сдает два вступительных экзамена: по математике и по физике. Найти функцию распределения и построить ее график для с.в. ξ – числа, полученных пятерок, если вероятность получения «5» по математике – 0,8, а по физике – 0,6.
Решение. В предыдущем примере был получен закон распределения с.в. ξ:
ξi |
0 |
1 |
2 |
pi |
0,08 |
0,44 |
0,48 |
Найдем функцию распределения:
F(x)=
F (x)
1
0,52
0,08
0 1
2 x