7. Основы расчета строительных конструкций, работающих на изгиб

В строительной практике балкой принято называть брус, ра­ботающий преимущественно на изгиб. Балки воспринимают на­грузки от перекрытий, покрытий или других конструкций и пе­редают их на опоры. В строительстве балки применяют для пере­крытия пролетов зданий, рабочих площадок, при возведении мостов и в других случаях. Пролеты, перекрываемые балками в зданиях, могут достигать (в зависимости от материала) 24 м, а при пролетах свыше 24 м обычно применяются другие конструкции: фермы, арки, рамы и др.

Балки изготавливают из стали, железобетона, древесины.

Стальные балки выполняются из прокатных профилей или изготавливаются сварными. Железобетонные балки выполняются мо­нолитными или сборными. Деревянные балки выполняются: из цельной древесины, клееными из досок, клееными с использованием строительной фанеры или составными.

В зависимости от назначения балки могут называться: прого­ны, ригели, перемычки. Как балки работают многие плиты, рост­верки и другие конструкции.

По статической схеме работы балки подразделяются на разрез­ные, неразрезные, консольные. Балку на двух опорах принято называть простой.

7.1. Общие положения

7.1.1. Работа простых балок под нагрузкой

и предпосылки для расчета по несущей способности

Балки работают на изгиб, который может быть прямым (простым) и сложным. Рассмотрим простейший случай прямого изгиба балки, когда внешние силы действуют в одной (вертикаль­ной) плоскости и перпендикулярно к оси балки. Нагрузки могут

быть распределенными или сосредоточенными (сила, момент). В строительной практике наиболее распространены равномерно распределенные нагрузки. Для простоты рассуждений рассмотрим балку прямоугольного сечения (рис. 7.1).

Если не принимаются специальные меры, т.е. балка свободно опирается на опоры, то одна опора считается шарнирно-неподвижной, а другая — шарнирно-подвижной (см. раздел 4).

Из курса «Сопротивление материалов» известно, что прямой изгиб (рис. 7.2) характеризуется:

а) с геометрической точки зрения искривлением оси балки, удлинением растянутых (нижних) и укорочением сжатых (верх­них) волокон. При этом нейтральная ось (слой) при искривлении свою длину не изменяет;

б) с точки зрения статики в любом сечении по длине балки воз­никают изгибающие моменты М_х и поперечные силы Q_x (рис. 7.3).

М_Х и Q_x определяются по правилам строительной механики, в за­висимости от расчетной схемы балки и характера нагрузки (сосре­доточенные, распределенные, моментные или их сочетания), путем построения эпюр, т.е. графиков изменения М_х и Q_x по длине балки. Для случая действия равномерно распределенной нагрузки на про­стую балку по всей ее длине эпюры М_х и Q„ как известно из сопро­тивления материалов, выглядят, как показано на рис. 7.4, б, в. Наибольшие значения М_х и Q_x при равномерно распределен­ной нагрузке определяется по формулам

(7.1)

(7.2)

в) с тонки зрения напряженного состояния поперечный изгиб I характеризуется наличием нормальных, т.е. перпендикулярных к вертикальной плоскости сечения, напряжений а и касательных I напряжений т, лежащих в плоскости сечения. Нормальные напряжения изменяются по линейному закону по высоте сечения, достигая наибольших растягивающих (максимальных) значений а_тах I в крайних нижних волокнах (слоях) и наибольших сжимающих I значений в крайних верхних волокнах а„„_л. По абсолютному зна­чению они равны (о_шм = а„„„).

Касательные напряжения (достигают наибольшего значения на уровне нейтрального слоя (оси х—х) и распределяются по криво­линейному закону (параболе) — рис. 7.4, д, е.

Из рис. 7.4, г, видно, что нормальные напряжения а_х достига­ют наибольших значений в середине балки, уменьшаясь влево и

вправо от нее, и равны нулю на опорах. Касательные напряже­ния х_х, наоборот, наибольших значений достигают на опорах и равны нулю в середине длины балки. Описанный характер изменения напряжений по длине балки зависит от изменения из­гибающих моментов М_х и поперечных сил Q_x. Нормальные напряжения а_х напрямую зависят от изгибающего момента М_х, а касательные т_х — от поперечной силы Q_x. Для однородных и уп­ругих материалов они могут быть найдены по формулам сопро­тивления материалов:

• нормальные напряжения в любом сечении балки

(7.3)

где М_х— изгибающий момент в рассматриваемом сечении балки; W_x — момент сопротивления относительно оси х—х, определя­ется по формулам сопротивления материалов; для профилей сталь­ного проката принимается по сортаменту (Приложение 1);

• касательные напряжения в любом сечении балки

(7.4)

где Q_x— поперечная сила в рассматриваемом сечении;

S_x— статический момент сечения, определяется по формулам или таблицам;

1_Х — момент инерции сечения, определяется аналогично W„ S_x; b — ширина сечения балки.

Не останавливаясь на более подробных теоретических выводах, отметим, что, учитывая закон изменения изгибающих моментов М_х и нормальных напряжений можно установить рациональ­ное (экономичное) очертание балки. Так, при равномерно распределенной нагрузке наиболее рациональной будет балка переменного по длине сечения, которая повторяет очертания эпюры М т.е. параболу. Учитывая характер изменения по высоте сечения I балки нормальных напряжений можно сделать вывод, что если I большая часть материала сосредоточена в крайних зонах сечения — I верхней и нижней, а минимум материала — в средней зоне, то I сечение получается наиболее рациональным; этому больше всего I соответствует двутавровое сечение.

Из вышесказанного следует, что расчет простых балок состоит I из проверки следующих двух условий:

1) нормальные напряжения а_х в крайних слоях (волокнах) — нижнем и верхнем — не должны превышать расчетных сопротив­лений материала на растяжение и сжатие:

(7.5)

Из рис. 7.4, г, видно, что для балки постоянного по длине се­чения достаточно выполнить условия (7.5) для сечения, находя­щегося в середине балки, где о_д. достигают наибольшего значения на всей ее длине;

2) касательные напряжения т_х, которые достигают наибольших значений на уровне нейтрального слоя, не должны превышать расчетных сопротивлений материала сдвигу:

(7.6)

Для прямоугольных сечений при равномерно распределенной нагрузке касательные напряжения невелики из-за значительной ширины балки, но для балок двутаврового сечения, особенно при действии на них сосредоточенных нагрузок, такой расчет необ­ходим.

Из рис. 7.4, г, видно, что в поперечных сечениях, расположен­ных между опорами балки и ее серединой, по длине балки одно­временно возникают нормальные о_д. и касательные х^ напряжения. Их совместное действие может вызвать опасное напряженное со­стояние. Оно не опасно при равномерно распределенной нагруз­ке для прямоугольных сечений, выполненных из однородного материала, и прокатных стальных двутавров, в сортамент которых заложены такие размеры стенок, которые обеспечивают достаточ­ную прочность. При сосредоточенных нагрузках в стальных и де­ревянных конструкциях, а для железобетонных конструкций и при действии равномерно распределенной нагрузки необходима про­верка условий 7.6.