Самостоятельная работа

Тема: Выбор нелинейной модели однофакторной регрессии. Прогноз и доверительный интервал для нелинейной модели. Эластичность.

Цель лабораторной работы

Должны быть приобретены следующие умения:

1) Нахождение нелинейной модели;

2) Проверка адекватности нелинейной модели;

3) Нахождение доверительного интервала для прогноза по нелинейной модели;

Должны быть усвоены следующие понятия: линеаризация, проверка нелинейной модели на адекватность, прогноз и доверительный интервал для нелинейной модели, причина несимметричности доверительной области, эластичность.

Задание к самостоятельной работе.

1) По виду корреляционного поля выбрать модель из трех моделей - степенной , показательной или логарифмической .

2) линеаризовать выборку в соответствии с выбранной нелинейной моделью;

3) найти уравнение линейной регрессии для линеаризованной выборки;

4) проверить линейную регрессию на адекватность с уровнем значимости ;

5) найти с уровнем доверия 95% полуширину доверительных интервалов для линеаризованной модели;

6) найти прогнозируемые значения y и доверительные интервалы в точках выборки;

7) нанести на график выборочные точки, прогноз для них и концы доверительных интервалов;

8) вычислить максимальную относительную погрешность прогноза в точках выборки; объяснить наблюдаемые значения погрешностей;

9) вычислить коэффициент эластичности в каждой точке выборки;

10) Сделать выводы по полученным результатам.

Отчет по самостоятельной работе должен включать:

1) Тема работы, задание.

2) Распечатка таблиц и графиков.

3) Объяснение полученных таблиц и графиков с точки зрения эконометрики. Пример выполнения самостоятельной работы в пакете Statistica

Работаем в модулях Basic Statistics and Tables и Multiply Regression.

В качестве исходных данных берем данные из лабораторной работы № 1 и находим зависимость . Исходная таблица данных вставляется в отчет также как в лабораторной работе № 1.

+----+-------------------------+

| STA|From: rgr1.sta (2v * 10c)|

| BAS| |

| STA| |

+----+----------+----------+---+

| | | |

| | X | Y |

+----+----------+----------+

| 1 | 1,450 | 1,830 |

| 2 | 4,295 | ,580 |

| 3 | 3,553 | 1,340 |

| 4 | 1,568 | 1,340 |

| 5 | 1,520 | 1,640 |

| 6 | ,512 | 1,650 |

| 7 | ,457 | 1,910 |

| 8 | 1,822 | 1,960 |

| 9 | ,442 | 2,080 |

| 10 | ,498 | 2,180 |

+----+----------+----------+

Выполнение задания.

1 Выбрать модель. В качестве образца рассмотрим обратную модель, которой нет в задании для самостоятельной работы студентов.

Строим корреляционное поле: Basic Statistics - Graphs - Stats2D Graphs - Scatterplots - Off - Variable - (X,Y) - OK - OK .

Выберем зависимость вида .

2 Линеаризовать выборку в соответствии с выбранной нелинейной моделью.

Для логистической модели переход к новым переменным по формулам: .

Добавим две переменных U и V - Выделим U - Vars - Сurrent Specs - В окне Long Name впишем формулу =exp(X) .

Выделим V - Vars - Сurrent Specs - в окне Long Name впишем формулу =1/Y.

+----+-------------------------------------------+

| STA|From: rgr1.sta (4v * 10c) |

| MUL| |

| REG|Variables: 1-4, Cases: 1-10 |

+----+----------+----------+----------+----------+

| | | | | |

| | X | Y | U | V |

+----+----------+----------+----------+----------+

| 1 | 1,450 | 1,830 | 4,263 | ,546 |

| 2 | 4,295 | ,580 | 73,332 | 1,724 |

| 3 | 3,553 | 1,340 | 34,918 | ,746 |

| 4 | 1,568 | 1,340 | 4,797 | ,746 |

| 5 | 1,520 | 1,640 | 4,572 | ,610 |

| 6 | ,512 | 1,650 | 1,669 | ,606 |

| 7 | ,457 | 1,910 | 1,579 | ,524 |

| 8 | 1,822 | 1,960 | 6,184 | ,510 |

| 9 | ,442 | 2,080 | 1,556 | ,481 |

| 10 | ,498 | 2,180 | 1,645 | ,459 |

+----+----------+----------+----------+----------+

3 Найдем уравнение линейной регрессии для линеаризованной выборки

Строим график линейной модели (см. лабораторную работу 1) Variable - (U,V) - OK - OK .

На графике записано уравнение линейной регрессии для переменных (U,V) V=0,492+0,015*U.

4 Проверим линейную регрессию на адекватность (см. лабораторную работу 3) .

Multiple regression - Variables (V,U) - OK - OK Regression Summary.

+----------+-----------------------------------------------------------------+

| STAT. |Regression Summary for Dependent Variable: V (rgr1.sta) |

| MULTIPLE |R= ,94152794 RІ= ,88647485 Adjusted RІ= ,87228421 |

| REGRESS. |F(1,8)=62,469 p<,00005 Std.Error of estimate: ,13408 |

+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+

| | | St. Err. | | St. Err. | | |

| N=10 | BETA | of BETA | B | of B | t(8) | p-level |

+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+

| Intercpt | | | ,491533 | ,049618 | 9,906374 | ,000009 |

| U | ,941528 | ,119124 | ,015142 | ,001916 | 7,903731 | ,000048 |

+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+

Коэффициент корреляции , коэффициент детерминации , наблюдаемое значение критерия Фишера , число степеней свободы критерия Фишера и .

Найдем критического значения критерия Фишера с уровнем значимости 0,05: F(1;8)=5,317655 p=0,95

5 В точках выборки найти полуширину доверительного интервала для линеаризованной модели с уровнем доверия 0,95 (см. лабораторную работу 4).

- критическая точка распределения Стьюдента. t(8)=2,306004 p=0,95.

- среднеквадратическая погрешность остатков. Std.Error of estimate = = 0,134.

n - объем выборки, n=10.

- среднее значение фактора U, =13,45.

+----------+---------------------------------+

| STAT. |Descriptive Statistics (rgr1.sta)|

| BASIC | |

| STATS | |

+----------+--------------------------+------+

| | |

| Variable | Mean |

+----------+--------------------------+

| U | 13,45159 |

+----------+--------------------------+

Для каждого значения фактора U находим квадрат отклонения от среднего значения . Добавляем новый столбец, двойным щелчком по заголовку входим в окно свойств, даем заголовок, например KV, в окне Long Name вводим формулу =(u-13,45)^2 .

Находим значение суммы , это сумма значений столбца KV.

+----------+---------------------------------+

| STAT. |Descriptive Statistics (rgr1.sta)|

| BASIC | |

| STATS | |

+----------+--------------------------+------+

| | |

| Variable | Sum |

+----------+--------------------------+

| KV | 4898,163 |

+----------+--------------------------+

Итак, сумма равна 4898,163.

3 В исходную таблицу добавляем столбцы. V_REGR - прогноз по модели в точках выборки. DELTA - полуширина доверительного интервала. В окно Long Name столбца DELTA вводим формулу =2,31*0,134*(1+1/10+KV/4898,163)^0,5.

+----+------------------------------------------------------+

| STA|From: rgr1.sta (7v * 10c) |

| MUL| |

| REG|Variables: 3-7, Cases: 1-10 |

+----+----------+----------+----------+----------+----------+

| | | | | | |

| | U | V | KV | DELTA | V_REGR |

+----+----------+----------+----------+----------+----------+

| 1 | 4,263 | ,546 | 84,399 | ,327 | ,556 |

| 2 | 73,332 | 1,724 | 3585,880 | ,419 | 1,592 |

| 3 | 34,918 | ,746 | 460,871 | ,338 | 1,016 |

| 4 | 4,797 | ,746 | 74,874 | ,327 | ,564 |

| 5 | 4,572 | ,610 | 78,815 | ,327 | ,561 |

| 6 | 1,669 | ,606 | 138,801 | ,329 | ,517 |

| 7 | 1,579 | ,524 | 140,913 | ,329 | ,516 |

| 8 | 6,184 | ,510 | 52,792 | ,326 | ,585 |

| 9 | 1,556 | ,481 | 141,472 | ,329 | ,515 |

| 10 | 1,645 | ,459 | 139,348 | ,329 | ,517 |

+----+----------+----------+----------+----------+----------+

6 Найдем прогнозируемые значения Y и доверительные интервалы в точках выборки.

Обратное преобразование для нашей модели .

Параметры модели: А=b₀=0,492, В=b₁=0,015.

Вид полученной модели .

Таблицу дополняем столбцами V_MAX (=V_REGR+DELTA), V_MIN (=V_REGR-DELTA), Y_REGR=1/V_REGR, Y_MIN=1/V_MAX, Y_MAX =1/V_MIN/

+----+--------------------------------+

| STA|From: rgr1.sta (10v * 10c) |

| MUL| |

| REG|Variables: 10-12, Cases: 1-10 |

+----+----------+----------+----------+

| | | | |

| | Y_REGR | Y_MAX | Y_MIN |

+----+----------+----------+----------+

| 1 | 1,799 | 4,371 | 1,132 |

| 2 | ,628 | ,853 | ,497 |

| 3 | ,984 | 1,476 | ,739 |

| 4 | 1,773 | 4,218 | 1,123 |

| 5 | 1,784 | 4,281 | 1,127 |

| 6 | 1,934 | 5,313 | 1,182 |

| 7 | 1,939 | 5,353 | 1,184 |

| 8 | 1,710 | 3,868 | 1,098 |

| 9 | 1,940 | 5,363 | 1,185 |

| 10 | 1,935 | 5,323 | 1,183 |

+----+----------+----------+----------+

7 Наносим на график выборочные точки, прогноз для них и концы доверительных интервалов

Basic Statistics - Graphs - Stats2D - Scаtterplots - Variables: (X - Y,Y_REGR ,Y_MIN, Y_MAX) - Multiple - Least Squares - OK.

График можно откорректировать в окне stg, щелкнув дважды на нужном объекте. Чтобы поместить откорректированный график в отчет, нужно в пункте меню File выбрать пункт Print Graph.

Концы доверительных интервалов расположены на линиях Y_MIN и Y_MAX.

8 Вычислим максимальную относительную погрешность прогноза в точках выборки.

Для этого дополняем таблицу PОGR. Максимальную погрешность в процентах рассчитываем по формуле POGR=(Y_MAX-Y_REGR)/Y_REGR*100.

+----+-----------------------------+

| STA|From: rgr1.sta (15v * 10c) |

| MUL| |

| REG|Variables: 13-13, Cases: 1-10|

+----+----------+------------------+

| | |

| | POGR |

+----+----------+

| 1 | 143,020 |

| 2 | 35,718 |

| 3 | 49,924 |

| 4 | 137,896 |

| 5 | 140,007 |

| 6 | 174,685 |

| 7 | 176,030 |

| 8 | 126,189 |

| 9 | 176,388 |

| 10 | 175,033 |

+----+----------+

9 Вычислим коэффициент эластичности в каждой точке выборки.

Находим формулу для расчета коэффициента эластичности для модели .

Добавляем столбец Ex=-0,015*x*exp(x)/(0,492+0,015*exp(x)).

+----+-----------------------------+

| STA|From: rgr1.sta (14v * 10c) |

| MUL| |

| REG|Variables: 14-14, Cases: 1-10|

+----+----------+------------------+

| | |

| | EX |

+----+----------+

| 1 | -,167 |

| 2 | -2,968 |

| 3 | -1,832 |

| 4 | -,200 |

| 5 | -,186 |

| 6 | -,025 |

| 7 | -,021 |

| 8 | -,289 |

| 9 | -,020 |

| 10 | -,024 |

+----+----------+

Строим график эластичности