3) Әртүрлi кестелердегі байланысты мәлiметтерді алып тастаудың мүмкiн еместiгін (немесе каскадты алып тастау);

4) Деректер қорларын үлестіру және көп қолданушы режимінде жұмыс iстегенде мәлiметтердiң бұрмаламануын;

5) Техника бас-сирақтарында мәліметтердің сақталуын (мәлiметтердiң қалпына келтiрілуi).

	№ 10

1.Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.

Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары.

Айталық Х және У нақты сандардан тұратын жиындар болсын.

1-Анықтама. Егер белгілі бір ереже (заң) бойынша Х жиынын құрастыратын әрбір нақты х санына у жиынын құрастыратын сандардың біреуі бірғана у сәйкес келсе, онда Х жиынында бір мәнді y=f(x) функциясы берілген дейді.Мұнда Х жиынын функцияның анықталу немесе берілу облысы, ал У жиынын функцияның мәндерінің облысы, х-ті тәуелсіз айнымалы немесе аргументі дейді.

Үздіксіз f(x) функциясы берілсін. Белгісіз функцияның туындысы -қа тең болсын,- яғни

(1) теңдікті қанағаттандыратын F(x) функцияны функцияның алғашқы функциясы деп атайды.

Теорема . Егер F(x) функциясы , функцияның алғашқы функциясы болса, онда F(х)+C да (С- тұрақты сан ) алғашқы функция болып табылады, және керісінше, әрбір алғашқы функция F(х)+C түрде сипатталанады.

Туындының қасиеттері арқылы табамыз:

Айталық Ф(х) мына функция үшін кезкелген алғашқы функция болсын, онда

Сондықтан

Осы F(х)+C (С-тұрақты сан) өрнекті функцияның анықталмаған интегралы деп атайды және оны былай белгілейді

Мұндағы f(x)- интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек. Алғашқы функцияны табу амалы f(x) функциясын интегралдау деп аталады. Ендеше, интегралдау амалының дұрыс орындалғандығын тексеру үшін алғашқы функцияны дифференциалдап, интеграл астындағы функцияны алсақ болғаны.

Интегралдаудың негізгі ережелері:

1 Егер болса, онда , мұндағы

2 , демек тұрақты шаманы интеграл сыртына шығаруға болады.

3

4 Егер және болса, онда болады. Демек анықталмаған интеграл пішіні интегралдау айнымалысынан тәуелсіз. Мысалы

, , өйткені .

Екінші мысал: бұл функцияның анықталмаған интегралы .Тексеру : .

Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.

Анықталған интеграл түсінігі.

Анықтама. анықталған интегралы деп [a, b] аралығында f(x) функциясының алғашқы образының өсімшесін айтамыз:

Сонымен қатар, кез келген f(x) функциясы үшін интегралы бар болады (а – кез келген).

Орта мән туралы теорема1.   y= f(x) функциясы   [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болсын, онда бұл кесіндіден  теңдігі орындалатындай  c нүктесі табылады.

Бұл   f(c) мәні функцияның    [a,b] аралығындағы орта мәні деп аталады.

Мысал: F(x)= [0,100]

│¹⁰⁰₀ =20/3

Орта мән туралы теорема2

Th: _{[a,b] аралығында монотонды}

Д /уі g(x) [a,b] өспейтін болсын

( G(x)-g(b) ф-сы [a,b] де теріс емес өспейтін және [a,b] да интегралданады.

Оған 2ши Лемманы қолдансақ

2. ДК-дегі ақпаратты өлшеу және бейнелеу. Ақпаратты жіктеу (классификация) және кодтау.

Хартли таңдап алынған хабар ішіндегі  I – информация мөлшерін N санының екілік логарифмі ретінде анықтау керек деп тапты.

Хартли формуласы:   I = log2N

Клод Шеннон таңдап алу ықтималдықтары әр түрлі хабарлар жиыны ішіндегі информация мөлшерін анықтау формуласын ұсынды.

Шеннон формуласы:

I = — ( p1log2 p1 + p2 log2 p2 + . . . + pN log2 pN), мұндағы pi – N хабарлар ішінен i нөмірлі хабарды таңдап алу ықтималдығы.

Бұл формула бойынша егер p1, ..., pN ықтималдықтары тең болса, онда олардың әрқайсысының мәні 1/N –ге тең болады да, Шеннон формуласы Хартли формуласына айналып кетеді.

Клод Шеннон информацияны өлшеу үшін бір  бит  (ағылшынша bit – binary digit – екілік сан) бірлігін ұсынды.

Командалар мен мәліметтерді компьютер ішінде бейнелеу үшін қолданылатын екі таңбаның (0 мен 1) бірін есте сақтауға арналған машина жадының ең кіші бөлігін бит деп атайды.

Бит – өлшеудің ең кіші бірлігі, сондықтан практикада одан үлкенірек өлшем бірлігі – байт қолданылады. Байт – қатар тұрған сегіз биттен тұрады. Компьютер пернетақтасының 256 символдан тұратын таңбаларының кез келгенін  кодтау үшін 8 бит қажет (256=28).

Бұдан басқа іріленген өлшем бірліктері де қолданылады:

*1 Килобайт (Кбайт) = 1024 байт = 210 байт,1 Мегабайт (Мбайт) = 1024 Кбайт = 220 байт,1 Гигабайт (Гбайт) = 1024 Мбайт = 230 байт

ДК-дегі ақпаратты бейнелеу тәсілдері

*мәтін, сурет, сызба, график;

 *магниттік жазбалар

Кіріс ақпараты – фирмаға немесе бөлімшесіне келіп түсетін ақпарат. 

Шығыс ақпараты – бір фирмадан екіншісіне, бөлімшесіне жіберілген ақпарат. 

Ішкі ақпарат – объект ішінде пайда болады,   сыртқы  - объект сыртында.

Мәтіндік ақпарат - физикалық тасығышта (қағаз, дисплей экранындағы сурет) ақпаратты бейнелеу үшін пайдаланылатын алфавитті, сандық және арнайы символдар жиынтығы.

Графикалық ақпарат - әр түрлі графиктер, диаграммалар, сұлбалар, суреттер.

Ақпараттар классификациясы

1. Қабылдануына байланысты:

-визуалды – көру мүшелері арқылы

-аудио – есту мүшелері арқылы

-түйсіну – түйсіну рецепторлары арқылы

-иіс сезу мүшелері арқылы

-дәм сезу мүшелері арқылы қабылданатын ақпарат.

2. Суреттеу, келтіру формасына байланысты:

-мәтіндік – символдар түрінде беріледі.

-сандық – математикалық әдістерді білдіретін сандар мен белгілер түрінде

-графикалық – сурет түрінде

-дыбыстық – ауызша не жазба түрінде.

3. бағытталуына сай:

-жалпы

-арнайы – спецификалық жиынтықты қамтиды.

-жеке – қандай да бір адам туралы ақпарат.  

Ақпаратты белгілі - бір алфавит арқылы ұсынуды кодтау деп атайды. Бір белгі тобынан екінші белгі тобына көшіру ережесін код деп атайды. Ақпараттың кодталуы кейде шифрау депте айтылады, оның кері кодталуы декодирование процесімен тікелей байланысты. Екілік алфабиты 0 және 1 таңбаларымен ұсынылады. 0 немесе 1 мәндерін ғана қабылдай алатын сигналды бит деп атайды. Символдарды кодтау үшін 8 биттен тұратын котты байт деп атайды. 8 нөл мен бірлердің көмегімен яғни бір байттың көмегімен 256 символ кодталады. Символдарды кодттау кобинациаларының жиынтығын кодтау кестесі деп аталады.

Есептеуіш техникасында ең көп пайдаланатын код – ASCІІ коды – американдық апарат алмасудың стандарттық коды.

Кодтау кестенің 16 жолы 16 бағаны бар. Кесте екі бөліктен тұрады; стандарты, баламалы.

Стандартты бөліктегі – бірінші 128 символдар, 0 - ден 127 - ге дейінгі коттар; Цифрлар, латын алфавитінің әріптерімен компютер жумысын басқаратын арнайы символдар.

Баламалы бөліктегі - 128 - ден 255 - ке дейінгі кодтар алфавиттер (орыс, қазақ) Ондық, екілік, оналтылық санау жүйелерінің сәйкестендіру кестесі бойынша кодтауға болады.

3. Ақпараттық жүйелерді құрылымдық талдау мен жобалаудың мәні. Құрылымдық жобалаудың әдістемелері.

Ақпараттық жүйені жобалау ұзақ мерзімді және динамикалық үрдіс. Қазіргі уақытта қолданылатын жобалау технологиялары жүйені кезеңдік жасауды ұсынады.

АЖ жобалаудың құрылымдық әдістемелері: Апараттық жүйелердің жобалаудың құрылымдық әдістемелері – АЖ мемлекеттік стандартпен қарастырылған жобасы, құжаттаманы сипаттаумен жинақтау ережесінің белгілері аясындағы құру процесіндегі түсінігінде, яғни архитектураның құрылатын жүйенің функционалдық құрылымы мен алгоритмінің бір мағыналық түсінігінің сипаттамасы.Осы тұрғыдан бастап жобалау АЖ тіршілік циклдің түрлі кезеңдерінде жобалық шешімдерінің дәйекті нысандалуына алып келеді: техникалық және жұмыстық жобалаудың талаптарын жоспарлау мен талдау, АЖ енгізу және пайдалану. Ақпараттық жүйелерді жобалаудың құрылымдық әдістері – бұл жобалаудың сәйкес жабдығын қолдану арқылы ақпараттық жүйелерді құру әдістері. Ақпараттық жүйелерді жобалауда тиімді әдістер мен жабдықтарды қолдану сапалы жүйені құруға мүмкіндік береді. Жобалау әдістері 3-ке бөлінеді:

1.Ерекше

2.Типтік

3.Автоматизацияланған.

Ақпараттықт жүйелерді жобалау обьектілері жеке элементтер немесе олардың функционалдық және қамтамасыз ететін бөліктердің кешені болып табылады.Сонымен дәстүрлі декомпозицияға сәйкес міндеттер, міндеттердің кешенімен басқару функциясы функционалдық элементтері болады. АЖ қамтамасыз ету бөлігінің элементтерімен олардың ақпараттық бағдарламалық жүйені техникалық қамтамсыз ету кешендері жобалау обьектісі болады. Қазіргі заманғы ақпараттық технологиялар әдетте әзірлеу процестерінде өзгертілетін,іріктеуі болжалды пайдаланушылар тарапынан қойылатын талаптардың негізінде іске асырылатын АЖ-ды жүзеге асыру әдістердің ауқымды жиынтығын білдіреді.АЖ жобасын нақты бағдарламалық-техникалық ортада АЖ-ды құру мен пайдалану жөнінде жобалау шешімдерінің сипаттамасы берілген жобалық-конструкциялық және технологиялық құжаттама деп түсінеміз. Жобалаудың мақсаты болып АЖ-ны тиімді жобалау мен өз мамандық есептерін және орындау мен басқарушылық шешімдерді қабылдау үшін ЭЕМ- нің нақты эконмикалық обьектісімен комуникация құралдарын дамыту ортасында қолданылатын мамандармен автоматтандырылған ақпараттық технологияларды арасында өзара тығыз қызметті қамтамасыз ету болып табылады. Ақпараттық жүйенің құрылымы– бұл ақпараттық жүйенің элементтері мен ішкі жүйелерінің өзара байланыстарының ішкі кеңістіктегі уақытша тұрақты бір тәртіппен құрылуының арқасында, сол ішкі жүйелердің функционалдық міндетінің анықтала түсуі және олардың сыртқы ортамен байланысы. Ақпараттық жүйелер құрылымы бойынша функционалды және жабдықтаушы бөлімнен тұрады.

№ 11

.

1. Бернулли схемасы. Бернулли формулалары. Муавр –Лаплас теоремалары. Пуассон жуықтау формуласы.

Екі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі

Ω={0;1}

P(1)=p (1)

P(0)=q, (0<p<1, q=1-p)

p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:

ᴒ={ω=(a_1… a_n):a_i=0 немесе 1}

P(ω=( a_1, a_2… a_n))=P(c):..P (a₂):..P(a_n)=p^a₁^+a₂^+…a_n∙q^n-(a₁^+a₂^+…a_n) (2)

(2) моделін Бернулли схемасы деп атайды. Сонымен Бернулли схемасы дегеніміз – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі.

Теорема. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=( элементар оқиғасы үшін болсын(табыстар саны). Онда ω= (a_1… a_n) (3) үшін

( n рет тәуелсіз қайталағанда дәл рет табыс шығуының ықтималдығы) үшін

( n рет тәуелсіз қайталағанда шыққан табыстар саны арасында болуының ықтималдығы)

Мысал.

Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру

Ω={0;1}

«1» - «герб»

«0» - «цифр»

Қайталау саны n=5

Табыстар саны

Онда (3) бойынша P₅(3)=C³₅∙( )³∙ ( )⁵= =

Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны

Бернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу ( оқиғасы) ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.

Анықтама. k-ның функциясы ретінде ықтималдылығы ең үлкен мәнін қабылдайтын мәні ықтималды табыс саны деп аталады.

Анықтамадан және жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды шығады: Егер (n+1)p бүтін сан болмаса,онда , мұндағы санының бүтін бөлігі; Егер де (n+1)p бүтін сан болса, онда ең ықтимал табыс саны екеу. және .

Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегі үшін:

а)бірде-бір рет табыс болмау;

б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту

в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту

Р-ның мәні 0-ге не 1-ге мейлінше жуық болмағанда және жағдайда Лаплас формуласының жуық асимптотикалық формула болатынын көрдік. болған жағдайдың ерекше мәні бар. Бұл жағдайда мына теорема орын алады.

Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы .

Бұл асимптотикалық формула өте сирек пайда болатын оқиғаларға тән заң. Мұны Пуассон формуласы немесе Пуассон заңы деп атайды.

2. С тіліндегі күрделі арифметикалық операциялар, қатынас операциялары, инкремент және декремент операцияларын пайдалану. Құрама операторлар.

Арифметикалық операциялар символдар арқылы жазылады. Си тілінде мынадай операциялар бар: * - көбейту, / - бөлу, % - модуль бойынша бөлу(қалдықты анықтау), + -қосу, - - азайту.

Модуль бойынша бөлу бүтін санды бүтін санға бөлген кездегі қалдықты анықтайды. Мысалы: 20%3=2.

Қатынас операциялары. Қатынас операциялары екі мәнді салыстыру үшін қолданылады. Си тіліндегі қатынас операциясының тізбегі мынадай: ==, !=, <, <=, >, >=.

Егер қарастырылатын қатынас нәтижесі ақиқат болса, шарттық өрнектің мәні 1-ге тең болып саналады. Егер ол жалған болса, шарттық өрнек мәні 0-ге тең болады. Қатынас операциясының приоритеті арифметикалық операцияларға қарағанда, төмен және меншіктеу операторымен салыстырғанда жоғары болады. Ал қатынас операцияларын приоритеттеріне сәйкес етіп екі топқа бөлуге болады. Мұнда соңғы 4 операциясының приоритеті 1-ші және 2-ші операциялар приоритетімен салыстырғанда жоғары болады.

Инкремент және декремент операциялары(арттыру немесе кеміту) ++ және – түрінде жазылады. Бұлар кез келген операндтың мәндерін бірге арттыруға немесе кемітуге мүмкіндік береді.

Инкремент, яғни арттыру операциясы (++) және декремент (--), кеміту операциясы айнымалы (тек айнымалы мәнін) мәнін бірге арттырады немесе кемітеді. Олар айнымалы мәнін өзгертеді, яғни жасырын түрдегі меншіктеу амалы болып табылады. Кейде олар жеке оператор түрінде жазылады:

i++; немесе ++i;

Бұл екеуі де мынадай амалмен бірдей болып саналады i = i + 1;

Бұл екеуін өрнектерде жиі қолданады. Мысалы:

sum = sum +x * --i;

Инкремент пен декремент екі формада жазылады: префистік және постфикстік. Постфикстік арттыру былай жазылады: x++, ал префикстік арттыру былай жазылады: ++x. Префикстік амалдар негізгі операция алдында, ал постфикстік амалдар негізгі амалдан кейін орындалады.

Постфикстік формада x айнымалысының мәні оны қолданғаннан кейін өзгереді, ал префикстік формада – айнымалы мәні оны қолданғанға дейін өзгереді, яғни бір деген санға артады. Мысалы:

k=10;

x=k++; /* x=10 k=11 */

x=++k; /* x=12 k=12 */

Арттыру/кеміту операцияларын өрнек ішінде де орындау мүмкіндігі бар. Мысалы: sum=a+b++;/*алдымен a,b қосылады, сонан соң b 1-ге артады*/

sum=a+ ++b;/*алдымен b 1-ге артады, сосын барып a,b қосылады*/

Арттыру/кеміту операцияларының приоритеттері өте жоғары, тек жақша ішіндегі операциялардың приоритеті олардан жоғары болады.

Құрама операторларға жай құрама операторлар жəне блоктар жатады. Екеуі де жүйелі жақшаға алынып жазылады. Блокта жай құрама операторларға

қарағанда, айнымалыларды сипаттау жолдары болады.

Мысалы:

{

n++; жай құрама оператор

summa+=n;

}

{

int n=0;

n++; бұл блок

summa+=n;

}

3. Ақпараттарды қорғау әдістері мен жабдықтарын классификациялау. Шифрлеу әдістерінің классификациясы.

Ақпараттық жүйелер қауіпсіздігі өңделетін ақпараттың тұтастығы мен жасырындылығын қамтамасыз ететін әдістер бойынша жүзеге асырылады. Ақпаратты қорғау құралдары - мемлекеттік құпия болып табылатын мәліметтерді қорғауға арналған техникалық, криптографиялық, программалық және басқа да құралдар, олар жүзеге асырылған құралдар, сондай-ақ, ақпарат қорғаудың тиімділігін бақылау құралдары. Ақпараттық қорғау жүйесі жобалау әр түрлі жағдайда жүргізілуі мүмкін және бұл жағдайларға негізгі екі праметр әсер етеді: ақпарат қорғау жүйесіне арнап әзірленіп жатқан деректерді өңдеудің автоматтандырылған жүйесінің қазіргі күй-жағдайы және ақпаратты қорғау жүйесін жасауға кететін қаржы мөлшері.

Техникалық қорғау келесі құралдарды қолданады: Физикалық құралдар;Ақпараттық құралдар; Программалық құралдар; Криптографиялық құралдар.

Ақпаратты қорғау әдістерінің классификациясы:

• Кедергі  - қатерлер жолында кедергілер жасау.

• Басқару – қорғалынатын жүйеге басқарушылық ықпал ету.

• Маскировкалау – қорғалынатын жүйеге немесе ақпаратқа жасалатын әрекеттер. Мұндай түрлендірулер зиянкеске ақпараттарды қол жеткізбейтіндей етеді.(Мұнда қорғаудың крипотографиялық әдістерін жатқызуға болады).

• Регламенттеу – зиянкестің әрекеттерін немесе басқа да тұрақсыз факторлардың жүзеге асырылуын қиындататын іс шараларды жасау және өңдеу.

• Мәжбүрлеу – бұл әдісте қолданушылар және персонал ақпаратты өңдеуді жауапкершілікті(материалды, қылмыстық, административті) мәжбүрлеу шартымен орындау шарттарын құрудан тұрады.

• Ниеттену – бұл әдісте қолданушылар және персонал ақпаратты өңдеуде моралды-этикалық және психологиялық ойлау шарттарын құрудан тұрады.

Ақпаратты қорғаудың құралдары:

• Физикалық құралдар – тұрақсыз факторлардың жолында әртүрлі бөгет түрін құратын және автономды жұмыс істейтін механикалық, электрлік, электромеханикалық, электронды, электронды-механикалық және т.б құралдар мен жүйелер.

• Аппаратты құралдар – ақпаратты қорғаудың мәселелерін шешуге арналған және мәліметтерді өңдеудің жүйе аппаратурасына енгізілген немесе онымен арнайы ұштастырылған әртүрлі электронды және электронды-механикалық және т.б құралдар.

• Программалық құралдар – ақпаратты қорғау мәселесін шешуге арналған арнайы программа пакеті немесе жеке программалар.

• Ұйымдастырушылық құралдар - ақпаратты қорғау мәселесін шешу мақсатындағы ұйымдастырушылық-техникалық іс шаралар.

• Заңнамалық құралдар – жүйенің жұмыс істеуінде барлық тұлғалардың және бөлімдердің жауапкершілігін, міндеттерін, құқықтарын белгілейтін нормативті-құқықтық актілер.

• Психологиялық (моральды-этикалық) құралдар – қоғамдағы немесе берілген коллективте туындаған моралды нормалар немесе этикалық ережелер. Оларды сақтау ақпараттың сақталуын қамтамасыз етеді.

Шифр –кілтті қолдану арқылы белгілі бір ереже бойынша жүзеге асатын, мүмкін болатын ашық мәліметтер жиынын мүмкін болатын шифрленген мәліметтер жиынына қайтымды өзгеру жиынтығы.

Шифрлеу – қорғалатын хабардың әрбір символы өзгеруге жатады.

Шифрлеу әдістерінің классификациясы:

• Симметриялық (құпия,бірегей кілтпен, бір кілттік(single-key).

  • Ағымдық (шифрование потока данных):

  • Блоктық (блок бойынша шифрлеу):

    • Ауыстыру (P-блоктар);

    • Алмастыру (S-блоктар):

    • моноалфавиттік (Цезарь коды);

    • полиалфавиттік (Виженер шифрі, Джефферсон цилиндрі, Уэтстоун дискісі, Enigma);

  • Құрама:Lucipher; DES; FEAL-1; B-Crypt; ГОСТ 28147-89; Skipjack.

• Асимметриялық (ашық кілтті, public-key):

  • Диффи-Хеллман DH (Diffie, Hellman);

  • Райвест-Шамир-Адлeман RSA (Rivest, Shamir, Adleman);

  • Эль-Гамаль.

Шифрлеу тәсілдері: Ауыстыру; Алмастыру; Аналитикалық өзгерту; Гаммирлеу, Аралас шифрлеу.

№ 12

1. Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық. Жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыш.

Жазықтықтағы түзу теңдеулердің түрлері

А нықтама: Берілген түзуге параллель болатын кез- келген нөлдік емес вектор оның бағыттауыш векторы д.а.

ˉa‌‌ ‌‌ ׀׀P ˉa‌‌-бағыттауыш Р-ң

ˉb‌‌ ‌‌ ׀׀P ˉb‌‌- бағыттауыш Р-ң

Кез келген M(x,y) =

M нүктесі радиус векторы

= ={x,y}

Түзудің теңдеуін жазу үшін о-ң бойында жатқанбір нүкте ж/е бағыттауыш вектор қарастырылады

P түзу берілген

a‌‌‌׀׀P=> ˉa‌‌{e,m},M₀=(x₀,y₀) ЄP

кез келген M(x,y)- ағынды нүкте ЄP

ˉr=ˉr₀+ˉM₀ˉM; P ‌‌‌׀׀ M₀M ׀׀ ˉa‌‌=> Ξλ: ˉM₀ˉM=λˉa‌‌, λ=t

ˉr=ˉr₀ + tˉa‌ ‌ (1)

t€(-∞;+∞)

ˉr={x,y}; ˉr₀={x₀,y₀}

x=x₀+t*l

y=y₀+t*m (2) координаттар теңдуі

t=(x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m) (3) түзудің канондық теңдеуі

Түзудің жалпы теңдеуі

Теорема: 1) Жазықтықтағы түзу әрқашан келесі бірінші дәрежелі теңдеумен анықталады:

Ax+By+C=0 (4)

2) Кері (4) түрді кез келген теңдеу жазықтықтықтағы түзудің теңдеуі болады.

Д/y :1) (3) түзу (x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m)

Mx+(-l)y+(ly₀-mx₀) =0 m=A; -l=B; ly₀-mx₀=C

Ax+By+C=0

2) Ax+By+C=0 =>(3)

(4)-ң алгебра бойынша САТЖ ретінде қарастырсақ шексіз көп шешімі бар (4) шешімін қарастырсақ: x_0, y₀

Ax₀+By₀+C=0 (5)

(4)-(5)=> A(x-x₀)+B( y-y₀)=0 (6)

(x-x₀⁄(-B))=( y-y₀⁄A) (7)

Салдары1: (7) б-ша ˉb‌‌={-B,A} түзу бағ. ˉb‌‌

Салдары2: (6) ˉN{A,B}

M₀ˉM={ x-x₀ ; y-y₀}, (ˉN, M₀ˉM)=0 => ˉN ┴M₀ˉM => ˉN ┴P

Ан: Ax+By+C=0 түзудің жалпы теңдеуі д.а.

ˉN={A,B} о-ң нормаль векторы д.а.

2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

a= ˉM ₁ˉM₂ ׀׀P={x₂-x₁; y₂-y₁}

(3)=(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁) (8)

2 түзудің арасындағы бұрыш

2 нормаль арасындағы бұрыш

P₁׀׀ P₂ A₁ x+B₁ y+C₁ =0 ˉN₁={A₁ ,B₁}

P₁׀׀ P₂ A₂ x+B₂ y+C₂ =0 ˉN₂={A₂ ,B₂}

Cosα=(ˉN₁,ˉN₂)/ ׀ˉN₁׀ ׀ˉN₂=( A₁ A₂+ B₁ B₂)/(√ A₁²+ B₁²√ A₂²+ B₂²)

Cosβ=cos(180-α)=-cosα

P₁: y=k₁ x+b_1, P₂: y=k₂ x+b₂

k₁=tgα_1, k₂=tgα₂

tgψ = tg(α₂- α₁)=( tgα₂- tgα₁)/(1+ tgα₁·tgα₂)=( k₂- k₁)/(1+ k₁·k₂)

P₁ ┴ P₂  k₂- k₁=0  k₂=k₁