§ 11. Теория потенциала
11.1 Метод частного интегрирования
11.1.1. Представление неопределенного интеграла как обратного оператора для дифференцирования функции
Любой
известной функции
от одного переменного можно сопоставить
её производную, равную пределу
.
(11.1)
Значение производной является новой функцией, которую обозначим следующим образом
(11.2)
Можно
сформулировать обратную задачу: по
заданной функции
найти такую функцию
, которая удовлетворяет уравнению
(11.2). Последняя функция в математическом
анализе называется первообразной
исходной функции
. Умножая уравнение (11.2) на дифференциал
аргумента получим эквивалентную форму
этого дифференциального уравнения как
равенство бесконечно малых величин
первого порядка
(11.3)
Введем оператор интеграла как обратное к дифференциалу действие на функцию
(11.4)
Можно написать символическое уравнение для взаимно обратных и перестановочных операторов интегрирования и дифференцирования
(11.5)
Умножая (11.3) на оператор интегрирования получаем соотношение
(11.6)
Последнее слагаемое, равное произвольной постоянной, при дифференцировании этого соотношения исчезает. Оно известно как константа интегрирования. Подстановка (11.6) превращает (11.3) в тождество и поэтому она является общим решением дифференциального уравнения (11.3). Здесь «дифференциальным» называем уравнение, содержащее символы дифференцирования неизвестной функции. Покажем, что (11.6) удовлетворяет уравнению (11.2)
(11.7)
Отсюда следует, что оператор полной производной и неопределенный интеграл от функции взаимно обратны
(11.8)
Символические вычисления позволяет доказать перестановочность этих двух операций
(11.9)
Литература
1. Алексеев а.Н. Сборник задач по классической электродинамике. М.: Наука, 1977.
Оглавление
§1. Основы реперкого формализма в декартовой системе координат
§2. Натуральный репер, присоединенный к криволинейной системе координат
§3. Метрический тензор и коэффициенты Ламе
§4. Конструирование основных типов векторных интегралов
§5. Два основных свойства криволинейных, поверхностных и объемных интегралов
§6. Определение напряженности и потенциала электростатического поля для сферически симметричного распределения зарядов
§7. Цилиндрически-симметричное распределение зарядов
§8. Электростатическое поле распределения зарядов с симметрией плоскости
§9. Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока
§10. Закон Био-Савара