§ 3. Метрический тензор и коэффициенты Ламе.

Квадрат расстояния между близкими точками определяется теоремой Пифагора. Для формулировки этой теоремы в криволинейной системе координат заметим, что компоненты введенного в § 1 метрического тензора здесь определяются таблицей скалярных произведений натурального репера

. (3.1)

Используя формулы (2.10) и (2.12) легко установить, что в сферической и цилиндрической системах координат имеем следующую таблицу:

, ,

, , (3.2)

, ,

. (3.3)

Ниже r – цилиндрический радиус:

, , (3.4)

, ,

. (3.5)

Уравнение (1.6), которое вместе с соотношением (1.4) определяет формулировку теоремы Пифагора в декартовых координатах, записано в векторной форме, и следовательно, остается справедливым в любой системе координат. Подставляя (2.7) и (3.1) в (1.6), получаем формулировку теоремы Пифагора в произвольной криволинейной системе координат:

. (3.6)

Соответственно, в сферической и цилиндрической системах координат имеем

, (3.7)

, (3.8)

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними. Отсюда следует, что благодаря касательности векторов натурального репера к координатным линиям, последние будут взаимно-ортогональны в каждой точке, если недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю

, . (3.9)

Такие системы координат называются криволинейными ортогональными, в дальнейшем всегда будем пользоваться ими. Из формул (3.2) и (3.4) видно, что координатные линии сферической и цилиндрической систем координат взаимно-ортогональны во всех точках пространства. В криволинейной ортогональной системе координат теорема Пифагора согласно (3.9) принимает вид:

. (3.10)

Введем величины

, , , (3.11)

которые называются коэффициентами Ламе. Если определить элементарные длины

, , , (3.12)

то (3.10) принимает тот же вид, что теорема Пифагора в декартовой системе координат:

. (3.13)

Из определения (3.11) следует, что коэффициенты Ламе совпадают с «длинами» соответствующих векторов натурального репера:

, , . (3.14)

В формулы преобразования координат входят нелинейным образом. Поэтому они должны быть безразмерными величинами. Тогда из (3.12) видно, что коэффициенты Ламе имеют размерность длины.

Если сделать нормировку векторов натурального репера, то получаются векторы ортонормированного репера, присоединенного к криволинейной ортогональной системе координат:

, , . (3.15)

Для сферических и цилиндрических координат на основании (2.10) и (2.12) коэффициенты Ламе и формулы перехода к ортонормированному реперу имеют вид:

, , ,

, (3.16)

,

, (3.17)

, , , (3.18)

,

, (3.19)

.

§ 4. Конструирование основных типов векторных интегралов.

Криволинейные интегралы скалярного и векторного характера строятся при использовании векторного элемента длины (1.2), который в криволинейной ортогональной системе согласно (2.7) имеют вид:

. (4.1)

В сферических и цилиндрических координатах имеем

; (4.2)

. (4.3)

Криволинейный интеграл скалярного типа получается, если в качестве подынтегрального выражения взять скалярное умножение вектор-функции на векторный элемент длины:

. (4.4)

А если вместо скалярного умножения составить векторное произведение, то получится интеграл векторного типа:

. (4.5)

Поверхностные интегралы двух типов конструируются аналогичным образом. Скалярный интеграл получится по аналогии с (4.4), где роль играет векторный элемент поверхности , который в декартовой системе координат имеет вид:

; (4.6)

. (4.7)

Если здесь скалярное произведение заменить векторным, то получится векторный интеграл. Для вычисления таких интегралов нам понадобятся формулы для векторных элементов длины и поверхности и элемента объема в криволинейных ортогональных системах координат. Перепишем (4.1), вводя туда элементарные длины (3.12):

. (4.8)

Сравним это выражение с (1.2) и видим, что (4.8) получается из (1.2) заменой

;

(4.9)

.

Эту же замену произведем в (4.6) и получим общую формулу для векторного элемента поверхности:

. (4.10)

В сферических и цилиндрических координатах эта формула принимает вид:

; (4.11)

. (4.12)

Произведя такую же замену в элементе объема, записанном в декартовой системе координат

, (4.13)

получим элемент объема в криволинейной ортогональной системе координат:

. (4.14)

В сферической и цилиндрической системах:

; (4.15)

. (4.16)