§ 5. Два основных свойства криволинейных, поверхностных и объемных интегралов

Криволинейные, поверхностные и объемные интегралы определяются как пределы некоторых интегральных сумм, конструируемых почти одинаковым образом. Во-первых, делается разбиение кривой, поверхности и объема на малые элементарные участки. Затем значения подынтегральной функции в элементарных участках умножаются на соответствующие элементы длины, поверхности и объема и сложением всех полученных произведений составляются интегральные суммы. Из этого сразу получаются два основных свойства этих интегралов. Пусть интегралы вычисляются вдоль бесконечно малых: кривой, поверхности и объема. Тогда интегральные суммы состоят из единственного члена и поэтому имеем первое основное свойство криволинейных, поверхностных и объемных интегралов:

; (5.1)

; (5.2)

. (5.3)

Пусть контур L , площадь S и объем V разбиты на два участка:

Рис.5

Из определения интегральных сумм сразу следует второе основное свойство этих интегралов:

; (5.4)

; (5.5)

. (5.6)

§ 6. Определение напряженности и потенциала электростатического поля для сферически симметричного распределения зарядов.

Пусть имеется замкнутая поверхность почти произвольной формы, но такая, что лучи, проводимые из некоторой точки, находящейся внутри, протыкают ее только один раз. Обозначим через Q количество заряда, находящегося внутри S.

Рис.6

Тогда электростатическая теорема Гаусса выражается интегральным соотношением:

, (6.1)

- напряженность электростатического поля.

Пусть распределение объемной плотности заряда сферически-симметрично, т.е. в сферических координатах

. (6.2)

Потенциал электростатического поля определяется из уравнения Пуассона:

. (6.3)

Из-за сферической симметричности правой части такую же симметрию должна иметь левая часть уравнения и в лапласиане члены с угловыми переменными должны исчезнуть. Тогда решение (6.3) может быть только сферически-симметричным:

. (6.4)