§1. Основы реперного формализма в декартовой системе координат.

Здесь рассмотрим понятия локального репера, векторного элемента длины и теорему Пифагора в декартовых координатах.

Рассмотрим произвольную точку , положение которой в пространстве определяется его радиус-вектором:

. (1.1)

Рис.1

Если ввести близкую к точку ’ с координатами , то разность радиус-векторов положения этих двух точек определяет бесконечно малый вектор, называемый векторным элементом длины.

Из (1.1) следует, что

. (1.2)

Это соотношение можно объяснить как разложение вектора по декартовому базису из единичных векторов .

Рис.2

С другой стороны, (1.2) можно получить дифференцированием (1.1), считая постоянными величинами. Таким образом, в каждой точке пространства имеется тройка взаимно-перпендикулярных единичных векторов с общим началом, причем они при переходе из одной точки в другую сохраняют свою длину и направление. Множество всех векторов ( ) называется локальным декартовым репером.

Из (1.1) следует, что

. (1.3)

Квадрат расстояния между близкими точками определяется теоремой Пифагора

. (1.4)

Это соотношение можно получить из (1.2), используя таблицу скалярных произведений декартова репера:

= = = 1

(1.5)

= = = 0

. (1.6)

Следовательно, таблица скалярных произведений (1.5) эквивалентна теореме Пифагора (1.4), и позволяет определить важный геометрический объект, называемый метрическим тензором. Введем индексные обозначения:

;

(1.7)

.

Кроме того, определим символ Кронекера:

, где (1.8)

Тогда таблица скалярных произведений декартова репера (1.5) записывается в форме:

(1.9)

Таким образом, метрическим тензором называется тензор второго ранга, компоненты которого в декартовой системе координат совпадают с символом Кронекера.

§ 2. Натуральный репер, присоединенный к криволинейной системе координат.

Сферическая система координат определяется формулами:

;

(2.1)

На примере сферических координат введем понятие координатных линий, которое вводится тем же способом для всех других систем координат.

Рассмотрим произвольную точку , положение которой определяется значениями . Координатная линия получается движением точки при постоянных . Линии и получаются изменениями и при фиксированных значениях остальных координат.

Рис.3

Формулы перехода к общим криволинейным координатам имеют аналогичный вид:

(2.2)

Подставляя эти формулы в (1.1), видим, что в общем случае радиус-вектор точки является сложной функцией от криволинейных координат:

, , ) = . (2.3)

От точки сместимся вдоль координатной линии , придавая только этой координате приращение . Получаемый при этом вектор направлен вдоль координатной линии .

Рис.4

Следовательно, существует такой конечный вектор , касательный к координатной линии в точке , что имеет место уравнение:

. (2.5)

Аналогичные соотношения получаются и вдоль координатных линий:

; (2.6)

Следовательно, векторный элемент длины в криволинейной системе координат определяется формулой:

. (2.7)

Из (2.5) и (2.6) следует, что

. (2.8)

Таким образом, имеется тройка векторов с общим началом и касательных в каждой точке пространства координатным линиям . Векторные поля образуют поле натурального репера, присоединенного к криволинейной системе координат .

Если применить правило дифференцирования сложной функции от многих переменных к (2.8), учитывая (2.3), то получаются формулы перехода от декартова репера к натуральному реперу:

;

;

(2.9)

.

Эти формулы для сферических координат имеют вид:

;

; (2.10)

.

А для цилиндрической системы

, , . (2.11)

имеем:

;

(2.12)

.