Цель занятия – ознакомиться с основными определениями и классификационными признаками косвенных измерений;
-изучить методы оценки случайных погрешностей косвенных измерений, алгоритмы обработки их результатов;
-обратить внимание на формы представления характеристик погрешностей и записи результатов измерений.
Рекомендуемая литература: [1, с.197-211], [3, с.31-37], [4, с.27-36], [8, с.101-120].
Контрольные вопросы
1 Каким образом находят искомые величины при косвенном измерении? Какой формулой можно охарактеризовать косвенное измерение? Приведите пример косвенного измерения.
2 Какое значение принимается за результат косвенного измерения?
3 По какой формуле определяется частная случайная погрешность косвенного измерения?
4 Дайте определение коэффициента корреляции и поясните его физический смысл.
5 По какой формуле может быть вычислена оценка коэффициента корреляции?
6 По каким формулам вычисляются средние квадратические отклонения результатов косвенных измерений для случаев зависимых и независимых частных погрешностей?
7 Приведите критерий ничтожных погрешностей. Из какого условия он выведен? Что дает знание ничтожных погрешностей?
8Что понимается под «эффективным» числом степеней свободы распределения Стьюдента при косвенных измерениях?
9Опишите алгоритм обработки результатов косвенных измерений.
10Приведите примеры форм представления характеристик погрешностей
изаписи результатов измерений.
Решение типовых задач
Задача № 1 Мощность постоянного тока Р измерялась косвенным методом, путем мно-
гократных измерений напряжения U и тока I с учетом зависимости Р=U I. Ток I и напряжение U подвергались прямым измерениям n = 15 раз. В процессе обработки результатов прямых измерений определены: средние арифметические значения Ū = 25,2 В и Ī= 2,837 мА; оценки средних квадратических отклонений σU = 0,38 В и σI = 0,028 мА. Произведена также оценка коэффициента корре-
ляции между погрешностями измерения напряжения и тока RIU = 0,75.
Определить случайную погрешность результата косвенного измерения с доверительной вероятностью Рд = 0,95 и записать результат по одной из установленных форм.
16
Решение
1 Находим значение результата косвенного измерения мощности
P = U I = 71,492 мВт.
2 Определяем частные случайные погрешности косвенного измерения
|
|
|
E |
|
= |
∂P σˆ |
|
|
|
= |
|
|
|
σˆ |
|
|
|
= 0,706 мВт; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
I |
I |
I |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
= |
∂P |
σˆ |
|
= |
|
σˆ |
|
|
=1,078 мВт. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
U |
U |
U |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂U |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата кос- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
венного измерения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σˆ |
|
|
= E |
2 + E2 |
|
+ 2E |
|
|
E |
|
|
|
R |
|
|
=1,67 мВт. |
|||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
U |
|
I |
IU |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 Определяем значение коэффициента Стьюдента t для заданной доверительной вероятности Рд и числа наблюдений n.
а) При n ≥ 30 значение t определяется непосредственно из таблицы 6 для заданной Рд .
б) При n < 30 предварительно должно быть определено так называемое «эффективное» число степеней свободы распределения Стьюдента, учитываемое затем при пользовании таблицей 6.
Оно определяется из выражения
|
m |
ˆ |
ˆ |
2 |
m |
1 |
|
ˆ 2 |
|
ˆ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
nэфф. = |
∑ |
Еxi |
δxi |
∑ |
|
|
Еx |
i |
δx |
i |
+1 |
, |
|
i=1 |
|
|
|
i=1 ni −1 |
|
|
|
|
|||||
где ni - число наблюдений при прямых измерениях xi .
δˆ xi = σˆ xi Xi - относительная оценка среднеквадратического отклоне-
ния
Для решаемой задачи
nэфф. =
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
(EUi |
δUi |
+ EIi δIi |
|
|
+1 = 24,16. |
||||||||
|
1 |
|
|
ˆ 2 |
ˆ 2 |
ˆ 2 ˆ 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n −1 |
(EUi |
δUi |
+ EIi |
δIi |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) При получении дробного значения nэфф для нахождения коэффициента Стьюдента применяем линейную интерполяцию
t = |
t2 |
− t1 |
nэфф. + |
t1n2 − t2n1 |
, |
n2 |
− n1 |
|
|||
|
|
n2 − n1 |
|||
17
где t1, t2 и n1, n2 - соответствующие табличные значения коэффициента Стьюдента и числа наблюдений (для заданной Рд), между которыми находится
значение nэфф..
Для решаемой задачи при nэфф = 24,16 и Рд = 0,95 из таблицы 6 находим n1 =24, t1 = 2,069, n2 = 25, t2 = 2,064, а затем вычисляем значение t = 2,068.
5 Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения
o = t σP = 2,068 1,67 =3,45 мВт.
6 Записываем результат измерения
P = (71,5 ± 3,5) мВт, Рд=0,95.
7 Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей.
В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3 суммарной погрешности, то она является «ничтожной» и может быть исключена из рассмотрения.
Для решаемой задачи
σ3P =1,367 =0,556; EU > σ3P и EI > σ3P .
Следовательно, EU и E I не являются «ничтожными» и для повышения
точности измерения Р необходимо увеличивать точность измерения как U, так и I.
Задача №2
Сопротивление резистора Rx определялось путем многократных измерений падения напряжения на нем Ux и падения напряжения Uo на последовательно соединенном с ним образцовом резисторе R0=5 кОм с последующим расчетом
по формуле R x = R 0 Ux . При обработке результатов прямых измерений Ux и
U0
U0 получены средние арифметические значения Ux =32,5 В, U0 =2 В; оценки средних квадратических отклонений σˆ U x =0,19 B и σˆ U0 =0,036 B . Частные
погрешности некоррелированы. Число наблюдений при прямых измерениях n=40.
Оценить случайную погрешность результата косвенного измерения сопротивления Rx c доверительной вероятностью РД = 0,99 и записать результат измерения по установленной форме.
Решение 1 Так как по условию задачи частные погрешности некоррелированы, то
Rij=0.
18
При необходимости количественная оценка Rij может производиться по формуле
ˆ |
1 |
n |
|
|
|
|
|
∑(Xik − Xi )(X jk − X j) , |
|||||||
Rij = |
|
||||||
|
(n −1)σˆ xi σˆ x j k =1 |
||||||
где n - наименьшее из чисел наблюдений Xik и Xjk .
2 Находим значение результата косвенного измерения сопротивления
|
|
|
|
R x = R 0 |
|
U |
|
x |
=5 |
32,5 |
|
=81,25 кОм. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
U0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 Находим частные погрешности косвенного измерения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
∂R x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
σˆ U x |
|
σˆ U x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
EU x |
= |
∂Ux |
|
= |
|
|
|
0 |
|
=0,475 кОм, |
||||||||||||||||||||||
|
|
U |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂R x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ro |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
σˆ Uo |
|
σˆ Uo = −1,463 . |
||||||||||||||||||||||||||||
EUo |
= |
∂Uo |
= |
|
|
|
|
|
o2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата кос- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
венного измерения. Так как Rij, то для определения σRX используем формулу для случая независимых частных погрешностей
σˆ R x = |
ˆ |
|
|
2 |
+ |
ˆ |
|
|
2 |
=1,538 кОм. |
(EU x ) |
|
(EUo ) |
|
|||||||
5 Непосредственно из |
таблицы 6 (n=40) находим значение коэффициента |
|||||||||
Стьюдента при РД = 0,99
t = 2,576.
6 Вычисляем доверительные границы результата косвенного измерения
o = t σˆ R x = 2,576 1,538 =3,962 кОм. 7 Записываем результат измерения
Rх = (81,3 ± 4,0) кОм, РД = 0,99.
8 Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ни-
чтожных погрешностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
σR x |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
σˆ R x |
ˆ |
|
|
|
σˆ R x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
= 0,512 кОм, EUo |
> |
3 |
, а EU x |
< |
3 |
. |
||||||||
Следовательно, |
ˆ |
|
|
является «ничтожной» погрешностью. Поэтому для |
|||||||||||
EU x |
|||||||||||||||
увеличения точности измерения Rx необходимо в первую очередь повышать точность измерения Uo .
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Напряжение в электрической цепи U определяется путем многократных измерений U1, U2, U3 на участках этой цепи с последующим расчетом по формуле U = U1 + U2 + U3 . Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений напряжений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвен-
19
ного измерения U и, оценив его случайную погрешность, записать результат
измерения. При |
обработке |
принять |
U1 = |
|
1 , |
|
В; U2 = |
|
2 , |
В; |
U3 = |
|
3 , В; |
||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
X |
X |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
σˆ U |
=σˆ X , B ; |
σˆ U |
2 |
=σˆ X |
2 |
, B; |
σˆ U |
3 |
=σˆ X |
3 |
, B |
; |
R U U |
2 |
= R12 |
; |
R U U |
3 |
= R13 ; |
||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вариантов и РД = 0,99 - для нечетных ва- |
||||||||||||||||||||||||
R U 2U3 = R 23 ; РД= =0,95 - для четных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
риантов, n – количество наблюдений каждой из величин в процессе прямых измерений.
Задача № 2
Резонансная частота f0 колебательного контура определяется путем многократных измерений индуктивности L и емкости С, входящих в контур катушки индуктивности и конденсатора, с последующим вычислением по формуле
f0 =1/ 2π
LC .
Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения f0 и оценить
его случайную погрешность. При обработке принять |
L |
= |
X |
2 мГн; |
C |
= |
X |
3 мкФ; |
|||||||||||||||||||||||||||
σˆ |
|
|
|
|
|
|
|
=σˆ |
|
2 мГн; σˆ |
|
=σˆ |
|
3 мкФ; Рд= 0,95 - для четных вариантов и Рд |
= 0,99 - |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
L |
X |
C |
X |
||||||||||||||||||||||||||||||||
для нечетных вариантов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Таблица 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пара- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
метр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
|
10 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
35 |
15 |
|
22 |
11 |
19 |
32 |
13 |
40 |
11 |
|
17 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12,45 |
8,46 |
14,39 |
27,65 |
19,37 |
25,20 |
17,30 |
32,50 |
19,00 |
|
37,35 |
||||||||||||||
|
|
X |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,347 |
0,521 |
2,032 |
4,251 |
3,498 |
2,837 |
5,360 |
2,000 |
6,380 |
|
5,120 |
||||||||||||||||
|
X |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5,320 |
1,090 |
10,51 |
15,40 |
6,300 |
1,800 |
10,14 |
22,50 |
5,210 |
|
28,05 |
|||||||||||||||
|
X |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,30 |
0,14 |
0,15 |
0,32 |
0,36 |
0,38 |
0,22 |
0,19 |
0,31 |
|
0,57 |
||||||||||||||||
X |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
σ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,023 |
0,021 |
0,042 |
0,030 |
0,040 |
0,028 |
0,43 |
0,036 |
0,036 |
|
0,047 |
||||||||||||||||
X |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
σ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,085 |
0,050 |
0,20 |
0,29 |
0,052 |
0,010 |
0,32 |
0,20 |
0,081 |
|
0,89 |
||||||||||||||||
X |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ˆ |
-0,15 |
0,05 |
-0,34 |
0,47 |
-0,09 |
0,75 |
0 |
|
0,60 |
-0,50 |
|
0,80 |
||||||||||||||||||||||
R12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ˆ |
0,80 |
-0,42 |
-0,49 |
0,80 |
0,90 |
0,85 |
-0,09 |
-0,50 |
0,72 |
|
0,05 |
|||||||||||||||||||||||
R13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ˆ |
0,60 |
0,84 |
0,14 |
-0,32 |
0,46 |
0,63 |
0,53 |
0,06 |
0,18 |
|
-0,16 |
|||||||||||||||||||||||
R 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
R0 |
0,1 |
10,0 |
2,0 |
0,1 |
1,0 |
0,1 |
10,0 |
5,0 |
0,1 |
|
1,0 |
||||||||||||||||||||||
Задача № 3
Мощность постоянного тока Р измерялась косвенным методом путем многократных измерений напряжения U и тока I c последующим расчетом по формуле P = U I. Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения РU, оценив его случайную погрешность, записать результат измерения. При обра-
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ботке принять U = X1 , В; I = X2 , мА; σˆ |
U =σˆ |
X1 , B; σˆ I =σˆ |
X2 , ìÀ ; R UI = R12 |
; |
||||||||||||||
РД= 0,95 - для четных вариантов и РД = 0,99 - для нечетных вариантов.
Задача № 4
Сопротивление Rx определялось путем многократных измерений падения напряжения на нем Ux и падения напряжения Uo на последовательно соединенном с ним образцовом резисторе с сопротивлением Ro (кОм) с последующим расчетом по формуле R x =Ro Ux / Uo . Воспользовавшись результатами обра-
ботки прямых измерений (таблица 10), продолжить обработку результатов кос-
венного измерения Rx |
и, оценив его случайную погрешность, записать резуль- |
|||||||||||||||||||||
тат измерения. При обработке принять |
|
x = |
|
1,B ; |
|
o = |
|
2 , B; σˆ |
|
|
=σˆ |
|
, B ; |
|||||||||
U |
X |
U |
X |
|
||||||||||||||||||
U |
x |
X |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 ; РД= 0,95 - для четных вариантов и РД = 0,99 - для |
||||||||||||||
σˆ Uo =σˆ X2 , B; R UoU x |
||||||||||||||||||||||
нечетных вариантов. Погрешностью резистора Ro пренебречь.
21
Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра метрологии и стандартизации
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическому занятию МСиС 3
"ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ"
для студентов специальностей
"Радиотехника" и "Информатика"
Минск 2009
22