Регрессионный анализ

Регрессионный анализ это поиск аналитического выражения связи, в котором изменение результативного признака обуславливается влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов принимается за постоянные (или усредненные) величины

Связь между случайными величинами может быть прямо пропорциональной, гиперболической, параболической, экспоненциальной и др.

В основе регрессионного анализа лежит метод наименьших квадратов, который заключается в построении такой математической модели, что сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических была бы минимальной.

В уравнении однофакторной линейной регрессии , параметр означает среднее изменение величины результативного признака , в зависимости от изменения значений факторного признака х, если все остальные факторы, влияющие на результативный признак рассматриваются как неизменные. Параметр показывает, насколько в среднем величина одного признака Y изменяется при изменении на единицу меры другого корреляционно связанного с Y признака X. Свободный член отражает усредненное влияние всех неучтенных факторов.

При исследовании корреляции между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал (рубли, секунды, килограммы и т.д.), очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Эта модель отображает зависимость между переменными величинами x_i и y_i в системе прямоугольных координат. Зависимость может быть от ( ) и от ( ). Наглядно эти зависимости можно представить в виде диаграммы рассеивания или корреляционного поля.

Пример. В результате группировки 100 рабочих по общему стажу работы и месячной заработной плате получена следующая корреляционная таблица, представленная в виде интервального вариационного ряда:

Группы рабочих по общему стажу работы (лет)	Группы рабочих по размеру заработной платы (руб.)
	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220	220-240	Итого
0-5	5	6	14	7				32
5-10		3	4	7	10	2		26
10—15		1	2	6	5	4		18
15-20				4	1	6	1	12
20—25				1	3	1	3	8
25—30					1	2	1	4

Для характеристики связи между рассматриваемыми показателями необходимо провести корреляционно-регрессионный анализ двумерной модели.

Решение. Обозначим общий производственный стаж рабочих через , а их месячную заработную плату - .

Для графического изображения зависимости в прямоугольной системе координат по оси абсцисс отложим значения признака – фактора (производственный стаж), а по оси ординат – средние значения интервалов зависимого признака (заработную плату).

Рис. 7 Корреляционное поле

На основе анализа корреляционного поля можно предположить, что между заработной платой и стажем рабочих существует прямая регрессия:

.

Для нахождения значений величин и , входящих в систему нормальных уравнений, составим расчетные таблицы, введя в них одновременно и величины, необходимые для расчета коэффициента корреляции (в качестве вариант возьмем середины интервалов):

x y	110	130	150	170	190	210	230	my	у my	у2 my
2,5	5	6	14	7				32	80	200
7,5		3	4	7	10	2		26	195	1462,5
12,5		1	2	6	5	4		18	225	2812,5
17,5				4	1	6	1	12	210	3675
22,5				1	3	1	3	8	180	4050
27,5					1	2	1	4	110	3025
mx	5	10	20	25	20	15	5	100	1000	15225
X mx	550	1300	3000	4250	3800	3150	1150	17200
X2 mx	60500	169000	450000	722500	722000	661500	264500	3050000
∑у mxy	12,5	50	90	237,5	250	247,5	112,5	1000
x∑у mxy	1375	6500	13500	40375	47500	51975	25875	187100

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

.

Из таблицы определяются: ,

Например, для (X=150) , для (Y=12,5)

,

Подставим найденные величины в формулу коэффициента корреляции и получим:

Полученное значение коэффициента корреляции по шкале Чеддока указывает на наличие заметной линейной связи между общим производственным стажем и заработной платой рабочих.

Вычислим коэффициенты уравнения регрессии, для этого подставим найденные значения в систему уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов:

получим:

.

В результате совместного решения уравнений находим: =143,1 и =2,89. Искомое уравнение прямой регрессии примет вид:

.

Это уравнение показывает, что между общим производственным стажем и заработной платой рабочих имеется прямая связь: с увеличением стажа на один год размер месячной заработной платы возрастает в среднем на 2р.89 у.е. ( ).

Однако чаще уравнение регрессии записывают с использованием выборочного коэффициента корреляции:

,

где , ,

объем выборки

Для данной задачи

, , , , , окончательно

Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму.