2.4.2.Аддитивные функции полезности

Пусть Х представляет собой непустое подмножество декартова произведения n множеств Х₁ Х₂ … Х_n, и пусть определено отношение предпочтения на Х. Будем говорить, что u является аддитивной функцией полезности для отношения на Х тогда и только тогда, когда она является вещественной функцией полезности на Х и существуют вещественные функции u₁, u₂,…,u_n (определенные на Х₁, Х₂,…, Х_n соответственно), такие, что для всех x=(x₁, x₂,…, x_n) из Х справедливо равенство

u(x₁, x₂,…, x_n)=u₁(x₁)+u₂(x₂)+…+ u_n(x_n). (1.8)

Аналогично u является совершенной аддитивной функцией полезности для отношения на Х, если она совершенная функция полезности, и существуют функции полезности u_i, такие, что выполняется равенство (1.8).

Чтобы сформулировать условия независимости, которые должны гарантировать аддитивность функции полезности, потребуются некоторые новые понятия, и прежде всего отношение эквивалентности ( ). Соотношение (x¹, x²,…, x^m) (y¹, y²,…, y^m) имеет место тогда и только тогда, когда каждый x¹, x²,…, x^m лежит в Х (m - некоторое целое положительное число больше единицы) и для каждого i от 1 до m набор x¹, x²,…, x^m является перестановкой (переупорядочением) набора y¹, y²,…, y^m. Если равенство (1.8) выполняется и (x¹, x²,…, x^m) (y¹, y²,…, y^m), то u(x¹)+u(x²)+…+u(x^m)=u(y¹)+u(y²)+…+y^m; последнее равенство получается, если сделать соответствующую подстановку в (1.8) и сократить одинаковые члены u_i. Следовательно, если (x¹, x²,…, x^m) (y¹, y²,…, y^m) и u является аддитивной функцией полезности для отношения на Х, то не может выполняться отношение х^k у^k для k= 1, 2,...m, а если u - совершенная аддитивная функция полезности для на Х, то не справедливы отношения x^k у^k для k=1, 2,...,m и x^k у^k для некоторого k.

Предположим, что Х - конечное множество. Тогда для (x¹, x²,…, x^m) (y¹, y²,…, y^m) отношения на Х аддитивная функция полезности существует тогда и только тогда, когда для каждого отношения эквивалентности является ложным условие, что x^k y^k для всех k от 1 до m.

Жесткие ограничения на структурные характеристики приводят к тому, что различные совершенные аддитивные представления функции полезности для специального отношения на Х связаны одинаковыми аффинными преобразованиями. Пусть u  совершенная аддитивная функция полезности для отношения на Х и функции u₁, u₂,…,u_n удовлетворяют равенству (1.8). Тогда u* с соответствующими функциями из (1.8) является также совершенной аддитивной функцией полезности для отношения на Х, если и только если существуют действительные числа b, c₁, c₂,…,c_n (b>0) такие, что u^*=bu(x)+c₁+c₂+…+c_n для всех х из Х и для каждого i=1 от 1 до n 2 справедливо равенство (x_i)=bu_i(x_i)+ci для всех x_i из X_i.

Эта особенность функций u_i существенно упрощает их масштабирование и оценку. В тех случаях, когда множество Х конечное или не обладает «удобной» структурой, функции u_i не будут иметь указанную особенность и могут потребоваться различные оценочные приемы.

Вернемся теперь к рассуждениям, связанным с изучением отношения предпочтения на множестве Р простых распределений вероятностей, заданных на подмножестве Х декартова произведения n множеств X₁ Х₂ … Х_n. Пусть задано p из множества Р; тогда p_i; называется маргинальным распределением p на X_i.

Рассмотрим только совершенные линейные функции полезности, Допустим, что выполняются аксиомы В1, В2, В3 (из подраздела 1.2.2).

Вещественная функция u на Р является совершенной аддитивной линейной функцией полезности для отношения на Р тогда и только тогда, когда она является совершенной линейной функцией полезности для отношения на Р (подраздел 1.3.1) и для ее дополнительной функции v, определенной на Х с помощью формулы (1.5), существуют вещественные функции v_l, v₂,…,v_n, заданные на X₁, X₂,…,X_n, такие, что для всех x из Х справедливо равенство

v(x₁, x₂,…, x_n) = v₁ (x₁)+v₂(x₂)+...+v_n(x_n). (1.9)

Пусть выполняется равенство (1.9) и u_i (p_i) определены как математическое ожидание v_i с распределением вероятностей p_i на x_i; тогда u(р) =u(p₁)+u(p₂)+…+u_n(p_n) для всех p из Р.