2.3.3.Полезность « богатства»

Поскольку часто предполагают, что Х является набором некоторых величин, выраженных в денежных единицах, то для полноты обсуждения теории ожидаемой полезности мы посвятим данный раздел этому вопросу. Пусть х=0 представляет «богатство» в данный момент, а остальные элементы Х являются потенциальными добавками к имеющемуся «богатству» В дальнейшем будем предполагать следующее:

• аксиомы В1, В2, В3 выполняются;

• u  совершенная линейная функция полезности для отношения на Р;

• v  вспомогательная функция полезности на Х, определенная с помощью (1.5);

• v возрастает по х.

В данном разделе часто встречаются три понятия  гарантированный эквивалент, минимальная продажная цена и максимальная покупная цена для некоторой лотереи р на Х. Поясним смысл этих терминов в предположении, что v  непрерывная функция. Гарантированным эквивалентом с(р) лотереи р называется величина х, при которой некоторому субъекту безразлично, что он получит: лотерею р или гарантированную величину х; следовательно, она определяется как u(р)=v(с(р)).

Минимальной продажной ценой s(р) лотереи р называется наименьшая величина х, за которую субъект согласится продать лотерею р, если он получит р в качестве «подарка», то есть, станет владельцем лотереи. Поскольку полезность лотереи р есть u(р), а v(х)  полезность от продажи лотереи р за х денежных единиц, то u(р)=v(s(р)) то есть, s(р)=с(р). Таким образом, гарантированный эквивалент и минимальная продажная цена совпадают.

Максимальной покупной ценой b(р) лотереи р называется наибольшая величина, которую субъект заплатил бы (без затрат на сделку) из имеющихся у него денег за право владения лотереей р. Если он платит х за лотерею р, то полезность после сделки равна u(p_x), где р_x определяется из соотношения р_x(ух)=р(у) для всех у из Y. Поскольку полезность до сделки равна v(0), то v(0)=u(p_b(p)). Нет никакой уверенности в том, что b(р)=s(р), если функция v не является линейной по х (нейтральной относительно риска). Кроме того, величины s(р) и b(р) могут быть как отрицательными, так и положительными или даже равными нулю. Например, если b(р)<0, то это означает, что субъект требует вознаграждения в размере b(р) (или больше) за свое согласие участвовать в «неблагоприятной» лотерее р. Аналогично, если s(р)>0, то он сам заплатит сумму денег в размере s(р) (или меньше), чтобы избавиться от лотереи р.

Пусть р  обычная «благоприятная» лотерея; тогда нет никакого несоответствия в следующих типах поведения:

• субъект заплатил бы $300 за право владения лотереей р, но если бы она досталась ему бесплатно, то он продал бы ее всего за $250;

• субъект заплатил бы $1000, чтобы получить р, но если бы он купил р, скажем, за $980, то ему бы уже не хотелось платить больше, чем $850 за вторую лотерею, которая является точной копией первой.

Различные исследователи предпринимали попытки рационализировать или объяснить такие индивидуальные действия, как участие в лотереях и покупку страховок, путем использования графика функции v и его характерных особенностей. Эту функцию называют:

• функцией уклонения от риска (рисунок 4), если она строго вогнута на некотором интервале, причем для х у и 0< <1 справедливо неравенство v(х)+(1 )v(у)<v( х+(1 )y);

• нейтральной относительно риска, если она линейна нa некотором интервале, и v(х)+(1 )v(у)=v( х+(1 )y);

• функцией стремления к риску, если она строго выпукла на некотором интервале и v(х)+(1 )v(у)=v( х+(1 )y).

Можно определить и другие признаки отношения субъекта к риску.

Пусть v  непрерывная функция на интервале определения; тогда она является функцией уклонения от риска, если и только если с(р)< x+(1 )у при р(х)= , р(у)=(1 ), 0< <1 и х у для x, у, лежащих внутри интервала; если же v дважды дифференцируема, то она будет функцией уклонения от риска тогда и только тогда, когда v"(х)<0 для всех х, лежащих внутри интервала. Величина может рассматриваться как мера уклонения от риска в локальной окрестности точки х. Аналогичные утверждения справедливы для функции стремления к риску при с(р)> х+(1 )у или v"(х)>0.

Некоторая конкретная функция v может вести себя различным образом на разных интервалах. На рисунке 4 изображена функция v, которая является функцией стремления к риску на интервале [0, x], функцией уклонения от риска на интервале [х, у] и нейтральной относительно риска на интервале [хb(р), 0]. Гарантированный эквивалент с(р) и максимальная покупная цена b(р), показанные на рисунке 4, вычислены при условии р(х)=р(у)= .