2.3.Теория ожидаемой полезности

Во всех рассуждениях данного раздела предполагается, что бинарное отношение предпочтения определено на Р  множестве всех простых распределений вероятностей р, q, ... , заданных на непустом множестве Х. Элементами Х могут быть чистые стратегии или альтернативы, либо же они могут представлять собой исходы, или последствия, некоторых решений, принимаемых в ситуациях, содержащих элемент риска; вероятности таких исходов описываются некоторым распределением из Р.

Простым распределением вероятностей р называется вещественная функция Р, которая принимает положительные значения на большинстве элементов х из конечного множества Х, а сумма всех значений р(х) равна единице. В зависимости от контекста распределения из Р часто называют ставками, играми, лотереями, альтернативами риска, смешанными стратегиями и рандомизированными стратегиями. Для любых распределений р и q из Р выражение р+(1 )q называется прямой линейной комбинацией распределений p и q; здесь  действительное число, заключенное между 0 и 1. Таким образом, если r= р+(1 )q, то

r(х)= р(х)+(1 )q(х) (1.3)

для любого х из Х. Если р и q принадлежат Р и 0 , то р+(1 )q также принадлежит Р.

Предположим, что при =0,5 элементами Х являются некоторые суммы денег и пусть распределение P имеет вид:

р(0 долл.)=0,3;

р(10 долл.)=0,2;

р(20 долл.)=0,5,

а распределение q 

q(7 долл.)=0,7;

q(10 долл.)=0,3.

Тогда

r(x)= р(x)+(1 )q(x)= p(x)+ q(x);

r(0 долл.)= 0+ 0,3=0,15;

r(7 долл.)= 0+ 0,7=0,35;

r (10 долл.)= 0,2+ 0,3=0,1+0,15=0,25;

r(20 долл.)= 0,5+ 0=0,25.

Проведем проверку:

0,15+0,35+0,25+0,25=1,0.

Таким образом, прямая линейная комбинация (1.3) простых распределений вероятностей P и Q привела к простому распределению вероятностей R.

2.3.1.Линейная функция полезности

В соответствии с приведенными выше определениями вещественная функция u, заданная на множестве Р, является функцией полезности для отношения на Р, если u(р)>u(q) для всех р q и u  совершенная функция полезности для отношения на Р, если для всех р и q из Р неравенство u(р)>u(q) справедливо тогда и только тогда, когда р q.

Наличие определенных структурных свойств у множества Р приводит к тому, что функция u обладает свойством линейности, которое определяется следующим образом:

u( р+(1 )q)= u(р)+(1 ) u(q) (1.4)

для всех , лежащих между 0 и 1, и для всех р и q, принадлежащих Р. Функция полезности u, определенная для отношения на Р, называется линейной функцией полезности, если для нее выполняется равенство (1.4). Аналогично, если u  совершенная функция полезности, которая удовлетворяет равенству (1.4), то она называется совершенной линейной функцией полезности.

Сколь важным является свойство линейности, становится очевидным из дальнейших рассуждений. На основе функции u, заданной на Р, введем в рассмотрение дополнительную (вспомогательную) функцию v на Х, определяемую следующим образом:

v(х)=u(р), когда р(х)=1. (1.5)

Определим отношение так, что х y тогда и только тогда, когда р q при р(х)=q(у)=1; в этом случае v будет функцией полезности для отношения на Х при условии, что u является функцией полезности для отношения на Р. Пусть x₁, x₂,…,x_n  различные элементы множества Х и р(x₁)+р(х₂)+...+р(x_n)=1; применив несколько раз равенство (1.4) и воспользовавшись (1.5), получим

u(р)=р(x₁)v(x₁)+…+р(x_n)v(x_n). (1.6)

Согласно этому выражению, полезность р равна математическому ожиданию дополнительной функции V с распределением вероятностей р, заданным на Х. Если рассматривать v(x) как полезность исхода, то выражение (1.6) означает, что полезность некоторой альтернативы (с элементом риска), равна ожидаемой полезности для исходов, которые могут иметь место при использовании этой альтернативы.

Соотношение (1.6) представляет большой интерес, поскольку его можно использовать при масштабировании и вычислении полезности. Если функция v на Х масштабирована или определена таким образом, что это согласуется с условием линейности и выражением (1.5), то с помощью (1.6) можно вычислить функцию u(р) для любого р из множества Р. Пусть отношение на Р является слабым упорядочением, x у z и u  совершенная линейная функция полезности. В этом случае любой из элементов v(x), v(у) и v(z), например v(у), можно однозначно выразить через два других, если определить значение величины , при котором y находится в отношении безразличия к лотерее, имеющей исход x вероятностью и исход z с вероятностью (1 ). Пусть таким значением является ; тогда

v(y)= v(x)+(1 ) v(z) (1.7)

Рассмотрим пример на рисунке 3.

П усть х у z и v(х)=1, v(z)=0. Тогда v(у)= , если у находится в отношении безразличия к лотерее с показателем . Следует отметить, что в реальной ситуации психологические особенности человека могут сделать поставленную задачу достаточно сложной, поскольку оказывается трудно определить точное значение , при котором у находится в отношении безразличия к лотерее.

Ниже буква u используется для обозначения функции полезности (линейной или любой другой) на Р, а буква v  для вспомогательной функции полезности на Х. Бинарное отношение на Х было введено сразу после формул (1.5).

Прежде чем формулировать аксиомы для линейной или ожидаемой полезности, приведем некоторые свойства линейных и нелинейных функций полезности.

Сначала предположим, что u – совершенная линейная функция полезности для отношения на множестве Р. Тогда u* также является совершенной линейной функцией полезности для отношения на Р тогда и только тогда, когда существуют действительные числа b> о и с такие, что u*(р)=bu(р)+с при всех р из Р. В этом случае функции полезности u* и u связаны аффинным (или линейным) положительным (возрастающим) преобразованием, а v*(х)=bv(x)+с при х из Х. О вспомогательных функциях полезности v и v* также говорят, что они связаны положительным линейным преобразованием; такую функцию иногда называют кардинальной функцией полезности, основной масштабной единицей, интервальной мерой. Все эти выражения означают просто следующее:

а) если х и у – два элемента множества Х такие, что х у, то v(х) и v(у) могут быть любыми двумя числами, удовлетворяющими условию v(х)>v(у);

б) для данных v(х) и v(у) функция v(z) однозначно определяется из уравнения (1.7) для каждого z, принадлежащего Х.

Определив некоторую такую функцию v на Х, можно полностью построить совершенную линейную функцию полезности u на Р или вычислить ее с помощью (1.6).

Пусть u – совершенная линейная функция полезности для отношения на множестве Р. Тогда u* – также совершенная функция полезности для на Р, если неравенство u*(р)>u*(q) справедливо тогда и только тогда, когда u(р)>u(q). Такая функция u* не будет линейной, если она не связана с u аффинным преобразованием, а если u* не является линейной, то вычисления математического ожидания на основе v* с помощью формулы (1.6) не будут справедливы. Тем не менее, v* остается вполне законной совершенной функцией полезности для отношения на множестве X.