3.8.3.Формирование количественных ограничений

Под формированием количественных ограничений будем понимать определение (вычисление) нескольких точек на кривой, описывающей функцию полезности ЛПР. Следуя аксиоме 4, выберем х* и , такие, что х*, по крайней мере, так же предпочтителен, как любые другие исходы, каждый из которых в свою очередь не менее предпочтителен, чем . Затем можно произвольным образом назначить конкретные значения полезности двум данным исходам при условии, что u(х*)>u( ). Далее мы хотим получить значение х (назовем его x₁), такое, что исход x₁ равноценен лотерее L₁(х*, ), с точки зрения ЛПР. Тогда, поскольку полезности такого исхода и лотереи L₁ должны быть равны, можно записать

u(x₁)= u(х*)+ u( ). (2.17)

Формула (2.17) дает третью точку на графике функции полезности (рисунок 9). Аналогично, используя экспертные оценки гарантированных эквивалентов x₂ и хз для соответствующих лотерей L₂(х*, x₁) и L₃(х₁, ), получим значения полезности еще для двух точек:

u(x₂)= u(х*)+ u(x₁), (2.18)

u(x₃)= u(х₁)+ u( ). (2.19)

С помощью такого метода всегда можно получить по известным значениям полезности двух исходов значение полезности третьего исхода.

Очень важным является вопрос о том, как найти значение гарантированных эквивалентов. Для получения гарантированного эквивалента требуется процедура взаимодействия исследователя с ЛПР (экспертом). Эксперт должен сделать несколько выборов между предлагаемой ему лотереей и предлагаемыми исходами. Например, выбираем исход x_a и спрашиваем эксперта: «Исход x_a предпочтительнее лотереи L₁?» Независимо от ответа нужно знать, как следует изменить значение x (увеличить или уменьшить), чтобы найти искомый гарантированный эквивалент x₁. Предположим, что заранее было очевидно, что истинное x₁ должно быть больше, чем x_a. Тогда следовало бы выбрать x_b, такое, что x_b>x_a, и спросить эксперта: «Что предпочтительнее: x_b или L₁?». После ответа снова нужно знать, как следует изменить значение x (увеличить или уменьшить). Такой интерактивный процесс ( взаимодействие с экспертом) сходится постепенно к исходу x₁, равноценному лотерее L₁, т. е. к гарантированному эквиваленту.

При оценке полезности исходов следует иметь в виду два важных прагматических соображения. Во-первых, исходы, предлагаемые эксперту в качестве вопросов, должны иметь содержательный смысл. Во-вторых, диапазон предлагаемых исходов простых лотерей должен быть достаточно широк, т. е. необходимо, чтобы исходы отличались друг от друга. Если эти два соображения не учитываются, то ответы ЛПР (эксперта), приносят мало пользы для определения предпочтений.

3.8.4.Выбор функции полезности

Предположим, что можно найти некоторое параметрическое семейство функций полезности, которые обладают определенными, заранее установленными, свойствами. Обозначим такое семейство функций полезности через u(х | ), где  параметры. Тогда выбор соответствующей функции полезности сводится к выбору значений параметров. Это проще и удобнее, чем определять полностью функцию полезности. Кроме того, параметрическое задание функции полезности позволяет провести анализ чувствительности без излишних вычислений. Обычно полагают, что достаточно трех параметров, чтобы описать большинство ситуаций, поскольку тремя или меньшим количеством параметров можно моделировать широкий диапазон характеристик отношения к риску.

Используя параметрическую форму записи и предыдущие оцен­ки отдельных частей кривой полезности, можно записать выражение

u(x₁| )= u(x^*| )+ u(x⁰| ), (2.20)

где число неизвестных равно числу параметров. Используя зна­чения гарантированных эквивалентов, полученных экспертным путем, запишем столько уравнений, сколько неизвестных, и раз­решим их относительно параметров, чтобы иметь возможность построить функцию полезности, как показано на рисунке 9.