2.2.Предпочтение и полезность

Фундаментальным понятием теории предпочтений является бинарное отношение, поэтому необходимо изложить некоторые положения теории бинарных отношений.

Бинарное отношение R на непустом множестве Х есть подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из Х; мно­жество всех упорядоченных пар задается прямым произведением Запись xRy (читается: х находится в отношении R к у) означает, что (х, у) принадлежит R; аналогично не xRy (записывается как x y) означает, что (х, у) не принадлежит R, или что х. не находится в отношении R к у.

Ниже перечислены восемь возможных свойств бинарных отношений, разделенных на четыре группы. Во всех определениях предпола­гается, что х, у и z являются элементами множества Х. Бинарное отношение R на множестве Х является:

1. рефлексивным, если ;

2. нерефлексивным, если

3. симметричным, если из

4. асимметричным, если из

5. транзитивным, если из

6. отрицательно транзитивным, если из

7. связным, если xRy или yRx;

8. слабосвязным, если из или

Все перечисленные свойства стандартны, за исключением двух последних. Связное отношение часто называют сильно связным или полным; слабосвязное отношение также называют полным или просто связным.

Два свойства первой группы являются противоречивыми (то есть, они не могут выполняться одновременно), но этого нельзя утверждать относительно свойств остальных трех групп. Например, асимметричность и отрицательная транзитивность означают транзитивность; связность влечет слабую связность. Симметричность и асимметричность являются также противоречивыми свойствами.

Пусть Х  множество всех живых людей. Тогда отношение «выше, чем» является нерефлексивным, асимметричным, транзитивным и отрицательно транзитивным; отношение «ему (ей) столько же лет, как и» рефлексивно, транзитивно, отрицательно транзитивно и связно; отношение «является сестрой» (по крайней мере, один из родителей общий) симметрично (но почему не транзитивно); отношение «знаю имя», используемое при исследованиях пациентов с потерей памяти, не удовлетворяет ни одному из перечисленных свойств.

Транзитивное бинарное отношение называется упорядочением: или отношением порядка. К сожалению, для обозначения отношений порядка используются весьма различные термины. Например, асимметричное, транзитивное и слабосвязное отношение называют по-разному: линейным порядком, строгим упорядочением, сильным порядком, простым порядком, общим упорядочением, полным упорядочением, связным упорядочением и цепью. (Напомним, что таким отношением является отношение «больше, чем» на множестве действительных чисел.) Некоторые из только что перечисленных терминов используются также для обозначения принципов упорядочения с другими свойствами. Следовате­льно, когда говорят о некотором типе упорядочения, то необходимо определить, какими свойствами оно обладает.

2.2.1. Предпочтение и безразличие

В теорий предпочтений используются два основных бинарных отношения на множестве Х. Во-первых, отношение нестрогого предпочтения; запись x у читается следующим образом: «x либо предпочтительнее, чем у, либо безразличен к у». Чаще пользуются формулировкой «у не предпочтительнее, чем x». Bo-вторых, применяется отношение предпочтения ; запись х у; читается так: «x предпочтительнее, чем у». Отношение нестрогого предпочтения чаще встречается в литературе, но наряду с ним используется и отношение строгого предпочтения.

Когда в качестве основного бинарного отношения берется отношение нестрогого предпочтения ( ), то отношения предпочтения ( ) и безразличия () определяются через нестрогое предпочтение следующим образом:

х у тогда и только тогда, когда х у, и неверно, что у х; хy тогда и только тогда, когда х у и у х. (1.1)

Если же в качестве основного бинарного отношения берется отношение предпочтения, то отношение безразличия и отношение нестрогого предпочтения определяются на основе как

xу тогда и только тогда, когда неверно х у и неверно у х; х у тогда и только тогда, когда х у или неверно х у и неверно у х. (1.2)

В том случае, когда в качестве основного бинарного отношения берется отношение , представляется исключительно целесообразным ввести предположение о его асимметричности, так как в противном случае сохранится возможность того, что одновременно х будет предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем х. Аналогично если в качестве основного бинарного отношения берется отношение , то, по-видимому, разумно предположить наличие связности, поскольку иначе может оказаться, что х не считается столь же желательным, как у, а у не считается столь же желательным, как х.

Будем предполагать, что отношение нестрогого предпочтения является связным, а отношение предпочтения  асимметричным, причем независимо от того, какое из них выбрано в качестве основного. Как уже отмечалось выше, на вопрос о том, какое из двух отношений ( или ) взять в качестве основного бинарного отношения, каждый отвечает в соответствии со своими личными вкусами.

Из асимметричности (а значит, и нерефлексивности) отношения следует, что отношение безразличия рефлексивно (хх); отношение  симметрично по определению.