3.8.Оценка полезности

В данном подразделе предполагается, что существует единственная мера эффективности Х, относительно которой необходимо оценить предпочтения ЛПР. Нужно оценить полезность u(х) каждого возможного исхода x₁, х₂, … Если множество исходов дискретно, то искомые полезности можно непосредственно оценить, определяя вероятности равноценности исходов (х) на основе аксиомы 4. Однако, поскольку число возможных исходов обычно велико, необходимо (и проще) оценить функцию полезности u(х). Метод такой оценки иллюстрируется в следующих подразделах.

Для упрощения дальнейшего изложения разобьем всю процедуру оценки функций полезности на пять этапов:

1) предварительный анализ для фактической оценки;

2) определение соответствующих качественных параметров;

3) формирование количественных ограничений;

4) выбор функции полезности;

5) проверка на согласованность.

3.8.1.Предварительные процедуры для фактической оценки полезности

Оценка функций полезности, по-видимому, скорее искусство, чем наука. Успех в данной области тесно связан со способностью исследователя вступать в контакт с ЛПР. Исследователь должен доказать этому лицу важность таких оценок, заручиться его поддержкой и сделать удобной процедуру оценивания.

Прежде чем приступать к оценке функции полезности, следует обсудить концепцию теории принятия решений. Для ЛПР должно быть совершенно ясно, что интересующие его предпочтения являются его субъективными чувствами и что не существует совершенно объективных предпочтений. В тех случаях, когда ЛПР чувствует определенные сомнения при сообщении о своих субъективных чувствах, было бы очень хорошо, если бы оно изменило свое мнение. Последнее условие является необходимым для корректного анализа проблемы. В этом и состоит одна из целей теории принятия решений  требовать, чтобы ЛПР сформулировало свои предпочтения в надежде, что оно сопоставит их между собой и скорректирует свое мнение.

3.8.2.Определение соответствующих качественных параметров

Нас интересуют такие качественные характеристики, как монотонность и отношение ЛПР к риску. Достаточно просто можно установить, выполняется ли условие монотонности. Спросим ЛПР, что оно больше предпочитает: x₁ или x₂ (где x₂>x₁). Вероятно, эксперт ожидал бы ответа на этот вопрос, основываясь на собственной оценке исходов (последствий). Если x₂ предпочтительнее, то он склонился бы к мнению, что предпочтения монотонно возрастают на множестве свойств (признаков) Х. А затем (чтобы окончательно удостовериться) ему следует спросить, всегда ли большее значение х предпочтительнее меньшего.

Допустим, что предпочтения монотонно возрастают в Х, как, например, предполагается в случае прибыли. Тогда будем говорить, что некий субъект уклоняется от риска, если для любых значений x₁ и x₂ сумма (x₁+x₂)/2 предпочтительнее лотереи L₁(x₁; ; x₂) , которая имеет исходы x₁ и x₂ с одинаковой вероятностью. Отметим, что величина (x₁+х₂)/2 представляет собой математическое ожидание лотереи L (в противоположность полезности). Кроме того, будем говорить, что субъект стремится к риску, если он предпочитает лотерею L₁ по сравнению с величиной (x₁+х₂)/2 при всех значениях X₁ и Х₂. И наконец, субъект безразличен (нейтрален) к риску, если ему безразлично, что он получит: лотерею L или величину (x₁+х₂)/2 для любых x_l и x₂. Приведенные характеристики отношения к риску удобно использовать для описания областей и функций полезности (рисунок 8). Функция полезности вогнута, выпукла или линейна соответственно, если ЛПР уклоняется от риска, стремится к нему или безразлично.

Для выяснения отношения к риску можно разделить область возможных значений Х на четыре равные части с исходами, обозначаемыми через x₀, x₁, x₂, x₃и x₄. Затем следует спросить у ЛПР, что для него предпочтительнее: лотереи L(x_i; x_j), ,i=0, 1 2, 3; j= 1, 2, 3, 4; j>i, или соответствующие математические ожидания данных лотерей (x_i+x_j)/2. Если все ответы демонстрируют одно и то же отношение к риску, то следует предположить, что такое отношение к риску у данного лица преобладает.

Существуют более тонкие характеристики риска, для описания которых требуется понятие гарантированного эквивалента. Гарантированным эквивалентом лотереи L (х₁, р, x₂) называется величина , которую лицо, ЛПР считает равноценной L. Премия за риск определяется как математическое ожидание выигрыша минус гарантированный эквивалент.

Предположим, что ЛПР уклоняется от риска, а и r  гарантированный эквивалент и премия за риск соответственно для лотереи L(x₁; x₁+h), где h - положительная величина. Тогда, очевидно, r=(x₁+h/2)  . Говорят, что имеет место постоянное уклонение от риска, если премия за риск в лотерее L не зависит от величины x₁. В этом случае при возрастании x₁ на некоторую величину k гарантированный эквивалент должен увеличиться на ту же величину k. Если наблюдается постоянное уклонение от риска, то функция полезности будет иметь вид

u(x)=a+b(e^cx), (2.16)

где а и b - произвольный набор скалярных констант.

Если для приведенной выше лотереи премия за риск уменьшается (возрастает) по мере возрастания x₁, то говорят, что имеет место уменьшение уклонения от риска (уклонение от риска возрастает). Если известно отношение к риску ЛПР, то можно полностью охарактеризовать его индивидуальные предпочтения, оценив те несколько параметров, которые входят в уравнение (2.16).