2.5.Субъективная вероятность и ожидаемая полезность

При субъективном подходе полагают, что вероятность измеряет степень уверенности некоторого лица в справедливости некоторого утвержде­ния, например, о том, что завтра будет дождь. При этом постулируется, что рассматриваемый субъект является до некоторой степени «разумным», но не исключается возможность того, что два «разумных» индивидуума, столкнувшись с одними и теми же доказательствами, могут иметь разную степень уверенности в справедливости одного·и того же утверждения. В заключение данной главы кратко рассмотрим теории предпочтения для принятия решений в условиях неопределенности. Эти теоретические положения приводят к моделям ожидаемой полезности, в которых субъективные вероятности (различных последствий некоторых способов действия), а также полезность получаются из аксиом предпочтения.

Известны две основные схемы построения теории субъективной ожидаемой полезности. В одной из них исходы и состояния берутся за основу, а действие рассматривается как функция, которая каждому состоянию из множества S ставит в соответствие исход из Х. Состояние, которое достигнуто или является истинным, субъекту в момент, когда он принимает решение, не известно. Обычно предполагается, что состояния не зависят от действий в том смысле, что выбранное действие не будет оказывать влияние на то состояние, которое получается на самом деле. Пусть F  множество возможных m действий (стратегий), а S  множество n состояний. Тогда f(s) означает результат действия f, произведенного при состоянии s. Предположим, что число состояний s_k конечно [S={s_l, s₂,..., s_n}] и заданы: простое распределение вероятностей р* на S, функция полезности u на F и ее дополнительная функция v на множестве Х. Для состояния s_k функция р*(s_k) задает субъективную оценку вероятности лицам, принимающим решение, а его полезность для исхода x определяется функцией v(x). Пусть отношение на F является слабым упорядочением; тогда имеем u(f)>u(g) в том и только в том случае, когда f g для любых f и g из F, где

u(f)=p*(s_l)v(f(s₁))+p*(s₂)v(f(s₂))+...+p*(s_n)v(f(s_n)) (1.10)

для каждого действия f из множества F.

Другой подход предполагает в качестве базиса выбирать множество действий F и множество исходов Х. Состояние в явном виде не вводится. Для модели с конечным множеством исходов Х={x₁, x₂,..., x_d} вводятся функции u на F и v на Х, а также распределение вероятностей p_f на Х для каждого f из F. Как и раньше, функция v(x), x Х, является функцией полезности для лица, принимающего решение. Под функцией p_f(х) будем понимать его субъективную оценку вероятности следующего утверждения: «если совершить действие f, то реализуется исход x». Предположим, что отношение на F является слабым упорядочением; тогда из данной модели имеем что u(f)>u(g), если и только если f g, где

u(f)=p_f(x₁)v(x₁)+p_f(x₂)v(x₂)+...+p_fV(х_r). (1.11)

Несмотря на внешнее различие, две приведенные схемы построения теории субъективной ожидаемой полезности фактически являются изоморфными.

2.5.1.Аксиомы и измерения

Аксиоматика в области субъективной ожидаемой полезности опирается в основном на первую из описанных выше схем построения теории, на которой мы и сосредоточим наше внимание в заключение данной главы.

Самая элегантная формальная теория в рамках первой схемы разработана Сэвиджем. Теории ожидаемой полезности Сэвиджа предшествовала схема Рамсея.

Рамсей предлагал использовать «нейтральное» утверждение (нечто, равносильное событию Е с вероятностью ) для измерения полезности исходов путем процедуры последовательного деления пополам. В процедуре для общности требуется бесконечность множества Х. Пусть элементами Х являются некоторые суммы денег (ранжированные от большего предпочтения к меньшему) и х>z; тогда получается элемент у в промежутке между х и z, такой, что он гарантированно находится в отношении безразличия с {х, если событие Е осуществляется, и z, если событие Е не наступает}. Затем полагаем v(y)= v(x)+ v(z). После этого функция v на X используется как мера вероятностей для p^*: пусть A  событие (подмножество S) и для x, y, z имеем v(x)>v(y)>v(z), причем у гарантированно находится в отношении безразличия к {х, если событие А наступает, или z, если А не осуществляется}; тогда р*(А) определяется из равенства v(у)=Р*(А)v(х)+[1Р*(А)]v(z). В некоторых теориях предполагается существование полного набора внешних вероятностных мер, которые позволяют при конечном множестве Х получить единственную, с точностью до аффинного преобразова­ния, функцию v.

Сэвидж действует противоположным образом по сравнению с описанной процедурой «измерений». Прежде всего, он вводит вероятностную меру P* на основе своих аксиом для отношения на Р. При этом он использует процедуру деления пополам, в которой предполагается бесконечность множества S. Пусть х предпочтительнее у и некоторый субъект считает, что в отношении безразличия находятся {х, если наступает А, или y, если не осуществляется А} и {у, если осуществляется А, или х, если А не осуществляется}; тогда из равенства P*(A)v(х)+[1P*(А)]v(у)=Р*(А)v(у)+[1Р*(А)]v(х) получается р*(А)= независимо от конкретных значений v(х) и v(у) [до тех пор, пока v(х) v(у)]. Рассмотрим диаграмму

	B	AB	A
Выбор 1	x	y	x
Выбор 2	y	x	x

Здесь В является «подсобытием» события А и А-В означает событие: «А произошло, а В  нет». Если х не находится в отношении безразличия к у, но (выбор 1)(выбор 2), то из модели субъективной ожидаемой полезности с помощью непосредственных выкладок получаем P*(В)= P*(А).

После того как будет получена мера Р*, с ее помощью можно получить функцию v на Х. Пусть х предпочтительнее у, который в свою очередь предпочтительнее z, и пусть А является событием, которое состоит в том, что у приводится в отношение безразличия к {х, если осуществляется А, или z, если А не осуществляется}; тогда v(х), v(у), v(z) связаны друг с другом посредством равенства v(у)=P*(А)v(х)+[1р*(А)]v(z). Фактически, как отмечал еще Сэвидж, его аксиомы означают, что P* приводит к множеству индуцированных мер p_f на Х для различных f из А, обладающих структурой, которую Нейман и Моргенштерн использовали в своей теории ожидаемой полезности (подраздел 1.3.2). Следовательно, при заданной P* существование подходящей функции v на Х следует из ранее развитой теории.

Мы не будем рассматривать различные структурные условия, но коротко остановимся на одной новой аксиоме, которая, по существу, не фигурировала в теоретических построениях в подразделе 1.3. Эта аксиома имеет вид условия независимости и регулярности для событий и исходов. Подход Рамсея гарантирует, что, если v(х)>v(у)>v(z), v(х')>v(у')>v(z'); если и у находится в отношении безразличия к {х, если осуществляется А, или z, если А не осуществляется}, то у' безразличен к {х', если осуществляется А, или z', если не осуществляется А}. В результате P*(А) однозначно определяется через отношение разностей функции v. С точки зрения Сэвиджа, гарантировано, что если р*(А)=р*(B), х предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем z, и если у находится в отношении безразличия к {х, если осуществляется А, или z, если не осуществляется А}, то у безразличен к {х, если осуществляется В, или z, если В не осуществляется}. Тогда величина P*(А) однозначно определяется как отношение .