Радиус сходимости

     Теорема 2: Теорема о радиусе сходимости.

Для каждого степенного ряда   существует   , удовлетворяющее свойствам:

1. Если  , то ряд сходится только при   .

2. Если  , то ряд сходится при любых  .

3. Если  , то ряд сходится при   и расходится при  .

Сходимость на любом отрезке внутри интервала равномерная.

Число   - радиус сходимости степенного ряда.

 

     Утверждение о равномерной сходимости.

Если , то в точке   ряд сходится, следовательно, по теореме Абеля он сходится равномерно на  .

 

     Теорема 3: Формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

1. Если существует (конечный или бесконечный) предел  , то радиус сходимости степенного ряда   вычисляется по формуле:

2. Если существует (конечный или бесконечный) предел  , то:

 45. Функциональные ряды, определение , сходимость

Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность   определенная на множестве  .

Формальное выражение вида   называется функциональным рядом.

Множество   - область определения ряда. Сумма   первых членов ряда   называется  -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что   является функциональной последовательностью, определенной на  .

Пусть точка 

Определение. Функциональный ряд   сходится в точке  , если числовой ряд   сходится. Множество   точек  , где  сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд   сходится на множестве  , если последовательность   его частичных сумм сходится на  .

Если функциональный ряд сходится на множестве  , то его сумма есть функция  , определенная на  . Очевидно,   есть предел функциональной последовательности  .

Абсолютная сходимость

Определение. Функциональный ряд   сходится абсолютно на множестве  , если функциональный ряд   сходится на множестве   (  может быть одной точкой)

Утверждение. Если   сходится абсолютно на множестве  , то он сходится на нём и в обычном смысле

Доказательство. Ряд   сходится абсолютно на множестве  ,   ряд   сходится на  ,     числовой ряд  сходится   числовой ряд   сходится абсолютно   числовой ряд   сходится и в обычном смысле. Так как   - произвольная точка из     функциональный ряд   сходится в обычном смысле на множестве  .

Из утверждения следует, что  , то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.

Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.

46. Разложение элементарных функций в ряде Тейлора и Маклорена. Ряд Фурье.