Понятие сходимости рядов

Если значения частичных сумм   при неограниченном возрастании n, то есть, при   стремятся к некоторому числу S, то есть имеет предел

                                          (8)

то ряд называется сходящимся.

Это число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать такое равенство:

                       (9)

Пример сходящегося ряда:

42. Признаки сходимости ряда, необходимый признак сходимости , признак коши, признак Деламбера

Необходимый признак сходимости числового ряда.

  Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+... ,

(1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю  Доказательство. Из условия теоремы имеем

       

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

  Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.   Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.   Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится.   В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.   Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

,

43. Признаки сходимости ряда , 1 и 2 признаки сравнения, интегральный признак Коши.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами   и  и каждый член ряда  не превосходит соответствующего члена ряда , т.е. выполняется  (n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд  , то сходится и ряд  . Если ряд   расходится, то ряд    также расходится.

Этот признак остается в силе, если условие выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

 

Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел ,то оба ряда с положительными членами   и  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

При использовании этих признаков исследуемый ряд часто сравнивается

или с бесконечной геометрической прогрессией (q>0)  , которая при q < 1 сходится и имеет сумму S = a / (1-q), а при q≥1 расходится,

или с расходящимся гармоническим рядом 

Интегральный признак Коши сходимости числовых рядов

Исследовать сходимость ряда  . Рассмотрим вспомогательный ряд   и применим к нему интегральный признак Коши:  Так как интеграл   сходится, то, согласно интегральному признаку Коши, будет сходиться и ряд  . Так как  , то, согласно признаку сравнения, будет сходиться и ряд  .

44. Степенной ряд , определение, сходимость , радиус и интервал сходимости степенного ряда . Теорема Абеля.

Степенной ряд

     Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где   - коэффициенты степенного ряда,   - центр ряда.

 

     Теорема 1: Теорема Абеля.

Пусть ряд  сходится в точке  . Тогда он сходится при любом  , удовлетворяющем неравенству  , причём на любом отрезке внутри интервала   сходимость равномерная.

 

     Следствие из теоремы Абеля.

     Если ряд   расходится в точке  , то он расходится и при любых  .

Действительно, если бы он сходился при   , то он сходился бы и в точке   по теореме Абеля.