Задача о размене монет

Выполнили: Жорникова Полина,

Черемухина Алёна

9 класс

Руководители:

Нетрусова Наталья Михайловна,

Коровин Василий Михайлович

Летняя школа «Интеллектуал»

Цель нашей работы – установить, какие суммы можно получить из неограниченного количества монет достоинства x руб и y руб.

Этапы работы:

1. Сначала мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет взаимно просты. Мы сформулировали и доказали лемму:

Если можно получить интервал от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(x,y) – 1, то можно получить все числа, большие (х-1)(у-1).

Мы выдвинули гипотезу 1:

Если числа х и у взаимно просты, то можно получить все числа, начиная с (х-1)(у-1).

Эту гипотезу мы попытались доказать по этапам:

а) Можно получить все числа от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(х,у) – 1.

б) Ни при каких значениях х и у не получается числа (х-1)(у-1) – 1.

Подпункт а) мы доказали, а подпункт б) не смогли.

2. Потом мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет не взаимно просты и выдвинули гипотезу 2:

Пусть х и у - числа вида х = dn и у = dm, где m и n – взаимно простые числа, тогда мы сможем получать только числа, делящиеся на d, начиная с d(n-1)(m-1).

Мы доказали эту гипотезу (свели её к гипотезе 1).

В дальнейшем мы надеемся доказать те части гипотезы 1, которые ещё не доказали.

Комментарий.

Работа выполнена на Летней школе «Интеллектуал» в 2009 году. Дети работали 5 полуторачасовых занятий аудиторного времени. Видимо, этого всё же маловато для подобных задач – многие не успели закончить работу или написать подробный отчёт.

«Не больше половины»

Выполнили:

Дедов Дмитрий

Прохоров Владимир

Орлова Мария

Хорец Александра

Красноярская летняя школа

Руководитель: Антон Борисюк

Постановка задачи. Дана кучка камней. Играющие (их двое) по очереди берут камни, причём игрок не может пропускать ход (не брать камни), и может взять не больше половины камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Требуется понять, какие числа выигрышные, а какие – проигрышные.

Комментарий. Позиция называется выигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, при правильной игре победит (как бы ни играл соперник). Позиция называется проигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, проиграет при правильной игре соперника (как бы он сам ни играл).

Теорема 1.

1. Единица – первое проигрышное число.

2. Пусть Х – проигрышное число, тогда:

А. Числа, большие Х и меньшие 2Х+1 – выигрышные;

Б. 2Х +1 – проигрышное число.

Доказательство.

1. Единица – первое проигрышное число, так как в этом случае нельзя сделать ход.

2.А. Пусть Х – проигрышное число, N – число, причем

X < N < 2X+1

Очевидно,

N-X ≤ N/2

Поэтому можно отнять N-X камней и получить проигрышное число Х.

Б. Докажем, что 2Х+1 – проигрышное число.

Докажем от противного: Пусть 2Х+1 – выигрышное число. Тогда ходящий игрок (назовем его Первым) может за один ход оставить в кучке проигрышное число камней. По условию задачи он не может брать больше половины, т.е. больше Х камней. Значит, после хода Первого игрока останется Y камней, где

X+1 ≤ Y ≤ 2Х

По доказанному, все такие числа – выигрышные. Противоречие.

Теорема доказана.