Простые числа и представимость в виде суммы двух квадратов.
Сорокин Антон
5 класс
Научный руководитель Сгибнев А. И.
Определения:
1. Простое число – число, у которого ровно два натуральных делителя: само число и 1.
2. a, b, c, d, e, n- натуральные числа.
3. => – следовательно.
Теорема: Все простые числа кроме 2, представимые в виде a²+b², представимы в виде 4n+1. И наоборот: все простые числа, представимые в виде 4n+1, представимы в виде a²+b².
Лемма:
Зная c, d и e , при условии что c2+4de = простое число, но не 2,
можно подобрать a и b такие, что c2+4de= a²+b² = простое число, но не 2.
Доказательство леммы:
Если число можно представить в виде c2+4de, то его представление в этом виде можно представить геометрически. Начнём так делать:
5 |
= |
e=dd
|
13 |
= |
C2
d
e
|
= |
C2
e
d |
= |
C2
e=d
d |
17 |
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
|||||||||||
29 |
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
|||||||||||||
|
= |
|
= |
|
|
||||||||||||||||
Вариантов разложения простых чисел на c2+4de, если они есть, нечётное количество, так как среди них есть одна фигура, которая не совпадает ни с одной другой по контуру, а все остальные образуют пары с одинаковым внешним контуром (обведены в рамку).
Замечание. Для составных чисел возможны два варианта фигур, которые не совпадают ни с одной по контуру. Например:
21= |
|
= |
|
= др. |
У нас нечётное количество вариантов представления простого числа в виде c2+4de,=> всегда найдётся вариант, в котором d=e, т.к. в остальных случаях можно менять d и e местами, и варианты разобьются по парам.
Так как у нас будет вариант, когда d=e , 4de можно представить в виде а2, а c в виде b.
Доказательство теоремы: В первую сторону она будет работать, так как:
Остаток от деления на 4 |
х или у |
0 |
1 |
2 |
3 |
х2 или у2 |
0 |
12=1 |
22=4, =>0 |
32=9, =>1 |
поэтому сумма х²+у² может давать остаток от деления на 4 только 0, 1 или 2, а так как мы выписывали только нечётные числа, то только 1
Т.к. остаток от деления на 4 равен 1, число можно представить в виде 4n+1.
В обратном случае: Если простое число можно представить в виде 4n+1, то его можно представить в виде c2+4de (например, n=de, 1=c2). Тогда его можно представить в виде 4n+1 (лемма).
Вывод: Теорема верна. Выпишем простые числа (за исключением 2) в два ряда. В первый ряд те, которые можно представить в виде суммы двух квадратов, а во второй – те, которые нельзя так представить. Если мы возьмём два любых числа из одного ряда, то их разность будет делиться на 4. Действительно, в первый ряд попадут числа, которые можно представить в виде 4n+1, и все они будут иметь остаток 1 от деления на 4, а во втором ряду окажутся все остальные простые числа, имеющие остаток 3 от деления на 4.
Дальнейшее направление работы: доказать, почему лемма не работает для составных чисел.
Комментарий. Работа выполнена в 2011-12 учебном году пятиклассником школы-интерната «Интеллектуал» Сорокиным Антоном. Значительная часть работы допускает накопление эмпирического материала и его обобщение. Основным нетривиальным местом является расширение задачи – вместо выражения a2 + b2 удобнее оказывается рассматривать выражение с2 + 4de. Трудно догадаться также до графического представления решения в виде «крылатых квадратов».
В работе не продуман вопрос о том, почему любой «правильный» контур крылатого квадрата разбивается на квадрат и четыре прямоугольника ровно двумя способами.