46. Задача Иосифа Флавия

Хорошая задача на идею рекурсии. На представлении тем эту задачу можно подать очень увлекательно, разыграв считалочку со школьниками. На самом деле задача возникла во вполне военной обстановке: в «Иудейской войне» Иосифа Флавия есть история о том, что «он в составе отряда из 41 иудейского воина был загнан римлянами в пещеру. Предпочитая самоубийство плену, воины решили выстроиться в круг и последовательно убивать каждого третьего из живых до тех пор, пока не останется ни одного человека. Однако Иосиф наряду с одним из своих единомышленников счел подобный конец бессмысленным - он быстро вычислил спасительные места в порочном круге, на которые поставил себя и своего товарища. И лишь поэтому мы знаем его историю.» (Р. Грэхем и др. «Конкретная математика». М., Мир, 2006. С. 25).

Стоит составить таблицу номеров уцелевших в зависимости от начального числа игроков. Далее можно увидеть закономерность, которую, впрочем, не так легко доказать напрямик. Можно перенумеровывать игроков после прохождения каждого круга, найти рекуррентный закон изменения номера уцелевшего и, используя его как шаг индукции, доказать найденную закономерность. Другой подход – заметить, что если вначале было 2ⁿ игроков, то «выживает» первый. Значит, если их 2ⁿ + l, то останется «в живых» тот, кто является первым после l исключений. (Этот подход быстрее приводит к цели, но вряд ли поддаётся обобщению.)

Обобщение. 1. Пусть выходит каждый k-й, начиная с k-го. (Уже в случае k = 3 всё заметно сложнее – поэтому-то мы пренебрегли исторической правдой и сформулировали задачу для каждого второго.)

2. Нужно узнать также номер предпоследнего оставшегося («спаси себя и друга»).

Ссылка. Р. Грэхем и др. «Конкретная математика» М., Мир, 2006. С. 25 и дальше. Содержит решение задачи для каждого k-го и различные обобщения задачи.

47. Обезьяна и кокосы

Заметим, что после того, как первый кокос разбит, задача сводится к задаче об одном кокосе. Полезно перевернуть задачу: какова этажность дома, который можно «протестировать» данным количеством бросков (имея два кокоса)? Этаж для броска данного кокоса надо выбирать так, чтобы количество проверок нижних этажей, если он разбился, равнялось количеству проверок более высоких, если он цел. Идея «равномерной траты попыток в пересчёте на приобретаемую информацию» – общая в подобных задачах, ср. задачи 38, 42.

Обобщение. Пусть будет 2 кокоса и F этажей; пусть будет C кокосов и F этажей.

48. Игра Ним

Возможный подход к решению такой: рассмотрим сначала одну кучку (очевидно), две кучки (симметричная стратегия). Для трёх кучек поставим такой вопрос: пусть в двух из них количества камней фиксированы – a и b; сколько камней с должно быть в третьей кучке, чтобы позиция была проигрышная? (Заметим, что с определяется по a и b однозначно, так как если бы для данных a и b было два разных значения c, то игрок мог бы из большего привести позицию к меньшему, т.е. привёл бы противника к проигрышной позиции.) Рисуем квадрант с натуральными a и b, находим по ним c, заполняем таблицу, смотрим на получающиеся узоры и ищем закономерности. «Правильная» закономерность обобщается уже на любое количество кучек.⁹

Ссылки.

1.   А. Шень «Игры и стратегии в математике». М., МЦНМО, 2007. П. 4. Содержит полное решение.

2.   В.В. Шилов. «Ещё раз об игре Ним». «Потенциал», 2009, N 6. Содержит увлекательные истории про эту игру.

Обобщение. Пусть имеются две кучи предметов (например, спичек), и два игрока поочередно берут либо произвольное число предметов из одной кучи, либо поровну из каждой кучи. Получится более сложная игра, называемая Цзяньшицзы. Если в анализе игры Ним помогала двоичная система счисления, то в Цзяньшицзы помогает фибоначчиева система. См., например, А.М.Яглом, И.М. Яглом. «Неэлементарные задачи в элементарном изложении». М., ГИТТЛ, 1954. Задача 129.