43. Эволюция клеток

Полезно вначале дать детям «повариться» в теме некоторое время, а затем разработать с ними план исследования. Например, на кольце можно методично изучать эволюции всех возможных узоров: начиная с длины 1 и до длины, скажем, 10. По ходу изучения будет выясняться, что многие разные на вид узоры на самом деле эквивалентны. Встанет вопрос: «Как быть уверенными, что ничего не пропустили?» Придется осуществить упорядоченный перебор и т.д. По ходу наблюдений начнут открываться и нетривиальные закономерности:

1) в кольце бывает либо цикл, либо все кольцо становится белым (что тоже можно рассматривать как цикл);

2) если в конечной полосе длиной 3, 7, 15, … в начале всего одна черная клетка, то рано или поздно вся полоска станет белой;

3) эволюция суммы является суммой эволюций. Т.е. если ввести операцию бинарного суммирования:

чёрное + чёрное = белое, чёрное + белое = чёрное, белое + белое = белое,

разбить полоску на две (сумма которых даёт исходную), проэволюционировать их по отдельности и просуммировать, то получится эволюция исходной полоски.

После четкой формулировки гипотезы следует попытаться доказать ее или опровергнуть.

Возможные дальнейшие вопросы.

1. Если зашифровать узор в виде двоичного числа, как оно будет эволюционировать?

2. Найдите узоры, которые периодически повторяются со временем. Какими свойствами они обладают? Что можно сказать о полосе произвольной ширины? О всей клетчатой плоскости?

Обобщения. Игру можно рассматривать также на конечной полосе, на кольце, в прямоугольнике и т.д.

Ссылка. Квант. 1970. № 4. Задачник Кванта. Задача М19 (Васильев Н.Б.).

44. Мудрецы у людоедов

См. работу школьника, с. 20-22.

Обобщение.

1. Пусть колпаки будут не 2 цветов, а k цветов.

2. Пусть среди мудрецов есть «болван», который не соблюдает договорённостей, а говорит случайный цвет.

3. Трем мудрецам на лбу написали числа. Каждый из них видит только числа у других мудрецов, но не знает своего. По сигналу они должны одновременно надеть на себя черный или белый колпак так, чтобы когда их выстроят по возрастанию чисел цвета колпаков чередовались. В процессе выполнения задания мудрецам запрещено общаться, но они могут в начале выработать общую стратегию. Как им справится с задачей?

45. Сумма кубов цифр

Если исходное число меньше 10000, то и все последующие – тоже. Последовательность однозначно определяется исходным числом и обязана быть периодической. Удобно говорить об орбите числа. Встаёт вопрос о длине периода орбиты. Нетрудно найти числа, переходящие сами в себя (период = 1). Можно написать программу, которая строит орбиты чисел, скажем, от 1 до 100. Многие числа попадают в орбиты других чисел. Интересно найти условия, при которых орбиты, содержащие два данные числа, заведомо не пересекаются.⁸ Одним из инвариантов орбит является остаток от деления числа на 3.

Обобщение. Аналогичные вопросы можно ставить, задавая другие итераторы – правила вычисления последовательности (например, сумма квадратов цифр, количество букв в числе, записанном по-русски – это задача Колмогорова).