37. Ломаные

Нетрудно доказать, что такой ломаной с нечётным числом звеньев быть не может. Оказывается, ломаные с чётным числом звеньев n существуют для всех . Их можно строить по-разному. Так, для n = 10 можно взять правильную 5-угольную звезду и «сломать» каждое звено в середине. Дальнейшая классификация упирается в важный для всей математики вопрос: какие объекты считать разными, а какие – одинаковыми?

Наиболее разработанный подход  к этому вопросу – комбинаторный: звенья ломаной нумеруются и фиксируется, какое с каким пересекается, то есть каждой ломаной ставится в соответствие нумерация. Далее можно исследовать, для каких нумераций существует соответствующая им ломаная. Часть ограничений формулируется довольно быстро (например: пересекаются звенья, номера которых имеют разную четность), другие возникают при попытках построить ломаную по данной нумерации.

Задача перекликается с теорией узлов, см., например, А.Б. Сосинский. Узлы и косы. М., МЦНМО, 2001.

Ссылка. [K2, c. 123]. Сделаны начальные шаги.

Алгоритмы

38. Монетки

Используется важная идея – сведение задачи к более простой решённой. Умея решать задачу про три монетки, легко свести к ней задачу про девять монеток, и так далее. Сначала добейтесь, чтобы ученик мог объяснить порядок своих действий для конкретных случаев, а уж потом, если удастся, формулировал его в общем виде. Доказательство минимальности доступно скорее средним и старшим классам. Задача об определении двух фальшивых монет из N за наименьшее число взвешиваний – уже открытая задача! «Промежуточные» задачи и методы решения см.: К.А. Кноп Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам. М., МЦНМО, 2011.

39. Игра в полоску

Ссылка. [Ст 3]. Содержит полное решение задачи с подробным рассказом о том, как можно до него дойти. Вообще, задачи на игры весьма перспективны в качестве тем, так как есть «интерактив» и ошибочность придуманной учеником стратегии можно продемонстрировать в игре вместо того, чтобы объяснять словами.

40. Не больше половины

Эта игра изоморфна такой: ладья на полоске бумаги может ходить только вперед, но не более, чем на половину оставшихся клеток. Обе задачи решаются расписыванием выигрышных и проигрышных позиций с конца, но на доске это делать удобнее, чем с камнями (подробнее см. [K9, с. 63-71]). Можно разным школьникам дать разные задачи, чтобы потом они сами обнаружили, что получается одинаково с камнями и с досками и дальше объединились. См. ссылку к следующей задаче.

41. Ладья-ферзь

Ссылка. А. Шень «Игры и стратегии в математике». М., МЦНМО, 2007. П. 3. Содержит полное решение для ладьи.

42. Угадайка

«Детское» решение (делить интервал пополам) можно переформулировать так: запишем числа в двоичной системе счисления и каждым вопросом будем узнавать цифру в очередном разряде. Действуя аналогично в угадайке с платой, попробуем подобрать такую систему счисления, чтобы с ответом «да» мы узнавали одну цифру, а с ответом «нет» - две цифры. Такой системой счисления является фибоначчиева (в ней не могут идти подряд две единицы). Интересно проверить, можно ли обобщить это решение на другие «цены» за ответы.

Угадайка с враньём во «взрослой» формулировке звучит так: «При передаче слова возможны ошибки. Двухкратные и более считаем маловероятными. Как исправить однократную ошибку, добавляя как можно меньше информации?» Это делают самоконтролирующиеся коды, например, код Хемминга.