31. Сколько всего прямоугольников?
Начальные шаги задачи вполне доступны младшеклассникам и послужат хорошей тренировкой для упорядоченного перебора. В общем виде ответы выражаются многочленами невысоких степеней от размеров фигур. Интересно, что прямоугольников в квадрате со стороной n оказывается столько же, сколько кубиков в кубе со стороной n. Возникает задача доказать это равенство непосредственно – не подсчитывая количество таких квадратиков и кубиков по отдельности, а установив взаимно однозначное соответствие между ними. Это пример обратной задачи комбинаторики (термин А.К. Звонкина).
32. Замок
Ссылка. http://www2.edc.org/makingmath/mathprojects/simplex/simplex.asp. Подробное обсуждение на английском языке с педагогическими и методическими комментариями.
33. Число турниров
Простым перебором с десятью командами не справиться, поэтому надо обобщить задачу: сколько разных расписаний для n команд? Для двух, трёх, четырёх нетрудно найти ответ перебором, после чего нетрудно угадать закономерность. Знающим она напомнит формулу количества разбиений на пары, к которому действительно можно свести эту задачу.
34. Число циклов
Экспериментальное исследование можно проводить, не зная ничего, кроме техники «упорядоченного перебора». Тогда по ходу задачи можно открыть, например, количество перестановок данных n чисел, понять разницу между размещениями с повторами и без, и т.д. Однако полное доказательство под силу скорее ученику, уже владеющему формулами перестановок, сочетаний и размещений
Вот вопросы, которые помогут решить задачу:
1) Сколько существует полных циклов (т.е. циклов длины k) из k элементов?
2) Сколько существует способов выбрать k элементов из n (порядок неважен)?
35. Перестановки диагоналей
Можно занумеровать все вершины куба и выписывать подстановки номеров, соответствующие поворотам. Чтобы доказать, что мы нашли все самосовмещения, можно сначала изучить самосовмещения, оставляющие одну вершину неподвижной, а затем понять, как через них получить все остальные. Далее интересно найти подгруппы полученной группы поворотов.
Ссылка. П.С. Александров. Введение в теорию групп. Бюро Квантум, М., 2008. С. 71-74.
36. Подсчёт деревьев
Нарисуем все деревья для n = 1, 2, 3, 4:
Пусть n = 5. Теперь прямой подсчет уже достаточно сложен. Видов деревьев три:
Подсчитав, сколькими способами можно занумеровать каждое, получим, что всего их 125.
Соберём данные в таблицу:
Кол-во вершин |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Кол-во деревьев |
1 |
1 |
3 |
16 |
125 |
Теперь нетрудно угадать формулу для количества помеченных деревьев с n вершинами: Kn = nn-2. Эта формула подсказывает путь доказательства: построить биекцию между множеством помеченных деревьев с n вершинами и последовательностью из n-2 членов, каждый из которых принимает одно из n значений.
Биекция может быть такой (тут автор не знает другого способа, кроме «гениальной догадки»). Возьмём в дереве лист7 с минимальным номером и возьмём в качестве первого числа последовательности номер вершины, с которой этот лист соединен. Затем удалим выбранный лист. Вторым числом последовательности будет номер вершины, с которой соединен минимальный лист в оставшемся дереве. Этот лист тоже удалим, и так до тех пор, пока не останется дерево из двух вершин (ребро). Получим как раз последовательность длины n – 2.
Теперь осталось проверить, что каждому дереву сопоставляется единственная последовательность (это легко) и понять, что по любой последовательности можно единственным образом восстановить дерево (каким образом?). Перед формулировкой алгоритма «восстановления» в общем виде полезно потренироваться на примерах, нарисованных выше.
Эта формула называется формулой Кэли для числа деревьев, а эта биекция – кодом Прюфера. Другие доказательства см. М. Айгнер, Г. Циглер «Доказательства из Книги», М., Мир, 2006. П. 26.
Обобщим задачу.
Рассмотрим произвольный граф. Последовательно удалим все вершины степени 1, вместе с ребрами, в них приходящими. Далее удалим все вершины степени 2, соединив концы приходящих в них ребер. Назовем получившийся граф клумбой. Самая простая клумба представляет из себя две вершины, соединенные тремя ребрами:
Будем выращивать на клумбе деревья (с вершинами в вершинах или на ребрах клумбы).
Задача. Сколько существует различных помеченных деревьев с n вершинами на клумбе G? (То есть n-вершинных графов, представляющих из себя деревья на клумбе G).
Теорема Кэли дает ответ к задаче в случае «одноточечной клумбы».