25. Равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники

Исследование удобно проводить в программе «Живая геометрия» (построить в ней требуемую фигуру уже является интересной «подзадачей»). Окажется, что у равностороннего шестиугольника никаких интересных свойств нет, т.е. требование равенства всех сторон слишком слабое. Можно спросить, а что надо задать ещё, чтобы какие-то свойства появились.

Найти свойства равноугольного шестиугольника помогает следующая конструкция: продлим стороны до пересечения через одну, получим два правильных треугольника.

Сильным классам можно рекомендовать исследовать эту задачу на уроках после темы «Четырёхугольники». Вот, например, какие свойства равноугольных шестиугольников нашла (экспериментально) углублённая группа 8 класса школы «Интеллектуал» в 2007/08 учебном году:

А) Противоположные стороны параллельны.

Б) Биссектрисы углов параллельны сторонам.

В) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

Г) Три средние линии пересекаются в одной точке. (А что у четырёхугольников? А верно ли обратное утверждение? Не делятся ли средние линии пополам? В каких случаях делятся?)

Д) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

Е) Точки пересечения малых диагоналей находятся на средних линиях.

Интересно также рассмотреть свойства шестиугольников, у которых противоположные стороны параллельны, вписанных и описанных шестиугольников.

26. «Двуправильные» шестиугольники

Можно искать свойства полуправильных шестиугольников, аналогичные свойствам параллелограмма. У параллелограмма диагонали делят друг друга пополам. У вписанного параллелограмма углы равны и диагонали равны. У описанного параллелограмма стороны равны и диагонали взаимно перпендикулярны. Какие из этих свойств есть у полуправильных шестиугольников? (Про диагонали надо ещё понять, какие именно брать и пересекаются ли они в одной точке.)

27. Замечательные точки

1. Ответы нетрудно угадать, поэкспериментировав в программе «Живая геометрия» (все параметры выражаются через положение фиксированных точек A, B и центра окружности). Доказательства можно провести на уроке.

Ссылка. А.И. Сгибнев. «Три задачи о замечательных точках» / «Потенциал». 2011. N 11. С. 53-57. Подробное решение в виде диалога.

2. Заметим, что положение точки G можно «выразить» не через две точки B и C, бегающие по окружности, а всего через одну – середину отрезка BC. Назовём её точкой A₁. Точка A₁ может находиться в любом месте внутри круга. Отсюда с помощью гомотетии легко получить ответ.

Полезно обсудить со школьниками, что когда был один свободный параметр – точка C, то получалась кривая – однопараметрическое семейство; когда же стало два свободных параметра – точки B и C, получилась область – двупараметрическое семейство.

3. По двум данным замечательным точкам O и H с помощью теоремы Эйлера восстанавливается третья – точка пересечения медиан G. Если в произвольном месте выбрать вершину треугольника A, то нетрудно произвести построения, дающие вершины B и С (если вершины существуют). Теперь можно провести эксперимент в программе «Живая геометрия» – найти множество точек A, при которых точки B и С существуют. В силу равноправия вершин то же множество точек будет ответом и для вершин В и С.

Обобщение к п. 3.

1. Изучите углы треугольника ABC в зависимости от положения вершины A.

2. Решите аналогичную задачу для данных центра вписанной окружности и точки пересечения медиан; для других пар замечательных точек.

3. Рассмотрите аналогичную задачу в пространстве (тетраэдры вместо треугольников).

4. Вообще, можно придумать много аналогичных задач, выбирая различные замечательные точки.

Ссылка. В. Вавилов. «О математических исследованиях учащихся школы им. А.Н. Колмогорова» / «Математика». 2007. N 12. С. 27. Сформулированы результаты исследования (задача взята оттуда же).