Геометрия

20. Оси куба

Младшекласснику лучше всего клеить модели из картона, вращать и смотреть. Ср. «более взрослый» вариант задачи – № 35, «Перестановки диагоналей».

22. Формула Пика

Комментарий. Задачу можно представить эффектно: школьники рисуют сложный невыпуклый многоугольник, а вы за полминуты в уме находите площадь (как говорит В.В. Вавилов, «берём палец и считаем»). Несильные школьники справлялись с этой задачей, но процесс угадывания формулы заслонял им формальное доказательство.

Примерный план. Экспериментально ищем формулу для треугольника 1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах. Придумываем общую формулу. Повторяем исследование для 4-угольников и для 5-угольников. Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника. Доказываем её аддитивность (сумма «площадей» двух многоугольников равна «площади» их объединения). Затем доказываем её справедливость последовательно для прямоугольника, прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, произвольного многоугольника.

Обобщение. Решить аналогичную задачу для многогранников в пространстве.

Ссылка. В.В. Вавилов, А.В. Устинов. Многоугольники на решётках. М., МЦНМО, 2006. Показана связь формулы Пика с теоремой Эйлера о многогранниках и другими интересными задачами.

В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин, Задачи по стереометрии. М., Наука, 1989. Доказаны обе формулы. 

 

23. Разбиение многоугольника на равновеликие треугольники

Начнём с самого простого случая - n = 3. В треугольнике эта точка известна, существует и единственна для любого треугольника. Интересно исследовать, перенесутся ли какие-то из её свойств на четырёхугольник и т.д. Разбор случая n = 4 можно начать с квадрата и постепенно ослаблять условия (параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник).

24. Восстановление многоугольника

Тема возникла из двух задач:

1. Восстановить треугольник по серединам сторон (простая).

2. Восстановить пятиугольник по серединам сторон (посложнее).

Исследование удобно проводить в программе «Живая геометрия». Отмечаем точки – середины сторон, отмечаем произвольную точку X – предполагаемую вершину, отображаем её центрально симметрично относительно первой середины, получившийся образ отображаем относительно второй середины и т.д. Пусть последняя точка будет Y. Если полученную ломаную удаётся замкнуть выбором точки X, значит, есть решение. Если же не удаётся, значит, надо особым образом выбирать середины сторон.

Так, треугольник и пятиугольник можно восстановить однозначно (если из середин сторон никакие три не лежат на одной прямой). Четырёхугольник либо не восстанавливается (если середины сторон не лежат в вершинах параллелограмма), либо восстанавливается многими способами (если лежат).

Доказательство можно получить, используя теорему о средней линии, теорему Вариньона и метод координат. А можно – изучая связь движений точек X и Y.

С точки зрения «взрослой» математики речь идёт об изучении отображения множества n вершин V в множество n середин сторон C, а также обратного отображения. Оказывается, если n нечётно, то отображение не вырождено, т.е. можно получить любое C. Если же n чётно, то отображение вырождено, а именно переводит множества вершин НЕ в любое множество середин сторон. (В самом деле, рассмотрим векторы: у первого начало в первой середине, а конец во второй, у второго начало в третьей середине, а конец в четвёртой, и т.д. Сумма всех n/2 таких векторов равна 0. Это означает, что зная все векторы, кроме одного, можно найти этот последний. Т.е. n-1 середин однозначно задают положение n-й середины.)

Обобщение 1. Для случая четырёхугольника можно зафиксировать порядок обхода середин сторон и изучить область, в которой может лежать начальная точка, чтобы получился а) выпуклый четырёхугольник, б) невыпуклый четырёхугольник, в) замкнутая самопересекающаяся ломаная.

Обобщение 2 (постановка В.Н. Дубровского). А) На сторонах произвольного треугольника наружу построили равносторонние треугольники и отметили их центры; затем стёрли всё, кроме трёх центров. Восстановите исходный треугольник; когда это возможно? (Оказывается, центры должны лежать в вершинах равностороннего треугольника – открываем теорему Наполеона. Что будет, если треугольники построить внутрь?) Б) На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника построили вовне квадраты. Каким свойством обладают их центры? В) На сторонах n-угольника W вовне построили правильные n-угольники и отметили их центры. Опишите класс n-угольников W, для которых центры окажутся в вершинах правильного n-угольника.