16. Как увидеть симметрию многочлена?

При каких условиях на числа a, b, c, d уравнение вида (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e можно решить указанным способом? Что означают эти условия геометрически? Как можно геометрическим преобразованием свести данное уравнение к легко проверяемому виду? Подобные вопросы можно ставить и для других методов решения уравнений – например, какие классы уравнений можно решить заменой x + k/x = t.

17. Исследование графиков линейных функций на плоскости параметров (k ; b).

План. Для начала стоит потренироваться, изобразив несколько данных прямых плоскости (х; у) в виде точек плоскости (k;b) и наоборот. Далее можно провести исследование, отвечая на следующие вопросы:

1. Рассмотрим на плоскости (k;b) прямую b=k. Каждая точка этой прямой задает на плоскости (х;у) прямую, а вся прямая b=k задает на плоскости (х;у) семейство прямых. Каким свойством обладает это семейство прямых?

2. Рассмотрим семейство всех прямых плоскости (х;у), которые проходят через точку (m;n). Как это семейство прямых изображается на плоскости (k;b)?

3. Рассмотрим на плоскости (k;b) прямую b=uk+v. Какое семейство прямых на плоскости (х;у) изображает эта прямая?

Комментарий. Заметьте, что результаты задачи можно представить в единообразном виде, если считать, что параллельные прямые также имеют общую точку (бесконечно удалённую). В этом случае параллельные и пересекающиеся прямые на плоскости (x, y) становятся равноправными, а вертикальная прямая на плоскости (k;b) перестаёт быть исключительным случаем. Далее, пользуясь приведёнными конструкциями, нетрудно придумать правило, которое любой прямой плоскости (k;b) будет ставить в соответствие точку плоскости (x, y). Полученная двойственность плоскостей (x, y) и (k, b) лежит в основе проективной геометрии, к понятиям которой и подводит эта задача. Подробнее о проективной геометрии, см., например, Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М., МЦНМО, 2004. Глава IV.

18. Диофантово уравнение а.А. Маркова

Это уравнение возникло в знаменитых работах А.А. Маркова по теории чисел, причём он смог решить его, пользуясь средствами только школьной математики.

План.

1. Пускаем детей в самостоятельный поиск решений.

2. Упорядочиваем найденные решения: если (x, y, z) – решение, то (–x, –y, z) тоже решение; значит, можно искать только натуральные решения. Также можно упорядочить x, y, z по возрастанию.

3. Заметим, что есть решения, когда два числа из трех совпадают. Назовём их соседними. Рассмотрим два соседних решения (x, y, z) и (x, y, z₁). Подставим эти числа в уравнение, получим два тождества. Вычтем одно из другого, тогда z + z₁ = 3xy. Тем самым по любому решению (x, y, z) можно найти соседнее решение (x, y, z₁). Поскольку x, y и z можно менять местами, то из одного решения можно получить три соседних.

4. Чтобы двигаться дальше, надо обсудить, как такие ветвящиеся решения записывать. Например, их можно записывать так:

(1, 1, 1)

|

(1, 1, 2)

|

(1, 2, 5)

/ \

(1, 5, 13) (2, 5, 29)

/ \ / \

(1, 13, 34) (5, 13, 194) (5, 29, 433) (2, 29, 169)

……

Построим дерево решений, которые порождаются решением (1, 1, 1).

5. Наблюдение: левая ветвь (1, x, y) содержит числа Фибоначчи с нечетными номерами: (1, , ). Это нетрудно доказать. Вопрос: «Нет ли в других ветвях каких-либо обобщённых чисел Фибоначчи?»

6. Вопрос: «Все ли решения порождаются тройкой (1, 1, 1)?» Возможна экспериментальная проверка: найти перебором на компьютере все решения с x, y, z < 1000 и посмотреть, все ли они есть в нашем дереве.

7. Вопрос: «Могут ли разные ветви решений пересекаться?»

8. Заметим, что в нашем дереве все решения, кроме первых двух, порождают по два решения, а первые два – по одному. Назовём решения, которые порождают одно решение, особенными. Вопрос: «Есть ли другие особенные решения, кроме (1, 1, 1) и (1, 1, 2)?» Нетрудно доказать, что у особого решения две компоненты должны совпадать, а такими могут быть только указанные.

9. Заметим, что при переходе от решения к следующему наибольшая компонента возрастает. Докажем это.

10. Возьмём произвольное решение, будем от него двигаться «вверх» по дереву, уменьшая наибольшую компоненту. Куда мы можем прийти?

Обобщения. 1. При каких натуральных k диофантово уравнение x²+y²+z²=kxyz имеет ненулевое решение?

2. Решить уравнение x₁²+x₂²+…+x_n²=n x₁ x₂ …x_n .

Ссылка. Крейн М.Г. Диофантово уравнение А.А. Маркова // Квант. 1985. № 4.