Алгебра

11. Классификация графиков дробно-квадратичных функций

Элементы такой работы с сильным классом можно проделать на уроках. Нули знаменателя дают вертикальные асимптоты, нули числителя – пересечение с осью абсцисс, общие нули одного порядка – выколотые точки. Надо рассмотреть все различные взаимные расположения нулей и исследовать наличие горизонтальных или наклонных асимптот. Имеет смысл выделить несколько «канонических» видов для таких функций и показать какими способами все остальные сводятся к такому каноническому виду (линейные сдвиги, растяжение и т.д.).

12. Симметрические многочлены

Начать можно с исследования вопроса, любой ли многочлен вида xⁿ + yⁿ можно представить в виде многочлена от u и v. Получите формулу для таких представлений. Как эта задача помогает решить общую задачу?

13. Многочлен с заданным нулём

Заметим, что многочлен минимальной степени, имеющий ноль - квадратный. Искомый многочлен имеет степень заведомо выше 2. Многочлен можно построить длинным, но понятным вычислительным путём: возводя в квадрат, в куб, в четвёртую степень и т.д. и пытаясь подобрать целые коэффициенты в сумме степеней так, чтобы иррациональности «ушли». Если мы не пропустим нужную степень, то получится многочлен наименьшей степени. В принципе, таким же путём можно действовать с суммой трёх корней и т.д., однако громоздкость вычислений быстро нарастает. Можно попробовать угадать структуру найденного многочлена, найдя остальные его нули (например, разложив на множители). Отдельный непростой вопрос – доказать минимальность многочленов с этой структурой. Возможен такой подход: доказать, что если (где p, q, r – различные простые числа) – корень многочлена с целыми коэффициентами, то и – тоже корень (здесь надо использовать несоизмеримость иррациональностей). Отсюда легко получается оценка на степень многочлена.

Обобщение. Рассмотреть задачу для суммы двух и более кубических корней из различных простых чисел.

14. Иррациональные корни

Очевидно, что, во-первых, при b = 0 (биквадратное уравнение). Далее нужно рассматривать случаи, когда левая часть уравнения раскладывается на два квадратичных множителя. Можно начать с примеров: , - это уравнение приводится к виду: . Описав все такие случаи, надо понять, исчерпывается ли ими вопрос задачи.

Задача имеет геометрическую подоплёку. Имея отрезок длины 1, можно с помощью циркуля и линейки построить все отрезки, длины которых выражаются рациональными числами и квадратичными иррациональностями (в указанном широком смысле: в таком понимании является квадратичной иррациональностью). А все иррациональности более высоких степеней нельзя построить циркулем и линейкой. Именно этим путём Гаусс решил задачу о построении правильного n-угольника. См.: С.Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. МЦНМО, НМУ. 2001. С. 314-330. Ср. также: А. Скопенков. Ещё одно доказательство из Книги: неразрешимость уравнений в радикалах

(http://www.mccme.ru//circles/oim/kroneck.pdf)

15. Количество решений

1) Можно начать с квадратного уравнения. Для квадратного уравнения x²+px+q=0 на плоскости параметров (p, q) есть две области, разделённые дискриминантной кривой p²-4q=0. Любая точка кривой соответствует уравнению с 1 корнем, точка выше кривой – с 0 корней, ниже – с 2 корнями. Далее, используя теорему Виета, можно найти области, соответствующие различным знакам корней уравнения.

2) Для кубического уравнения особым случаем, аналогичным одному корню квадратного уравнения, является случай двух различных коней. Пусть это корни и , тогда один из них обязательно кратный (нужно обосновать, почему). Из равенства можно получить, при какой зависимости параметров p и q уравнение имеет 2 корня. Соответствующая этой зависимости кривая на плоскости параметров (p, q) разделяет две области: 1 корень и 3 корня.