8. Поиск чисел с заданным количеством делителей

Эффективно решить сначала обратную задачу: сколько делителей имеет число вида: p, p², pⁿ, pⁿq^m, pⁿq^mr^s и т.д. (p, q, r - простые). Для случая двух различных простых делителей удобно выписать таблицу делителей. Скажем, для p³q²:

1, p, p², p³

q, qp, qp², qp³

q², q²p, q²p², q²p³

Для трёх простых делителей нужна уже трёхмерная таблица. Тем самым угадывается общая закономерность: надо перемножить увеличенные на 1 степени простых множителей. Теперь понятно, что каждое представление числа N в виде натуральных множителей, больших 1, порождает вид числа, имеющего ровно N делителей.

У детей обычно вызывает затруднение переход от двух различных простых делителей к трём (т.е. от двумерной таблице к трёхмерной).

Заметим, что по такой таблице можно найти формулу для суммы всех делителей (это делали древние греки для поиска совершенных чисел) или даже сумму s-тых степеней всех делителей (при s = 0 имеем количество делителей, при s = 1 – их сумму). См. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. ГИФМЛ, М., 1962. С. 152-160.

9. Разложение дробей

Эту задачу решал Гаусс, учась в гимназии. Ища закономерность, он вручную разложил дроби вида 1/p для всех простых p <1000. Современная вычислительная техника позволяет делать это легко и быстро.

Сначала стоит составить большую таблицу разложений и попытаться найти закономерности, расклассифицировать дроби по видам. Приведём вопросы, которые могут в этом помочь. 

1. Длина периода. Какова наибольшая возможная длина цикла для дроби вида 1/p, 2/p, …, (p-1)/p? Как связаны с ней меньшие возможные длины? Зависит ли ответ от числителя дроби?  

2. Как связаны цифры разложений и длины для дробей вида 1/p, 2/p, …, (p-1)/p?

Для обоснования полученных результатов полезно вспомнить, почему любая обыкновенная дробь разлагается в периодическую десятичную. Очередная цифра частного определяется только текущим остатком. Удобнее следить не за цифрами частного, а за остатками. 

Задача подводит к малой теореме Ферма и к понимаю структуры циклической группы.

Ссылка. А.В. Спивак. Арифметика. Бюро Квантум, М., 2007. С. 50.

10. Периодические последовательности

Ссылка. М.Ш. Цаленко «Периодические последовательности». / «Математическое просвещение», № 10, 2006 г. М., МЦНМО. Статья содержит полное решение задач в общем виде.

Обобщение. Можно брать разные известные последовательности по модулю k и пытаться найти период. Некоторые задачи будут лёгкими, а некоторые – очень трудными. Так, для последовательности остатков геометрических прогрессий с_n ≡ qⁿ (mod k) полное решение до сих пор не получено (в силу малой теоремы Ферма для простых значений k период равен какому-то делителю числа k-1; для произвольных значений k Эйлер показал, что период равен какому-то делителю количества чисел, меньших k и взаимно простых с k).

Приведём примерные планы решений (можно следовать и совсем другим).

План решения для п. 1).

1. Выпишите остатки от деления квадратов (m = 2) на числа k = 2, 3, 4, ..., 9. Найдите для каждого случая периоды.

2. Докажите, что длина периода (какого-то, не обязательно наименьшего) равна k.

3. Как может быть связана длина периода и длина наименьшего периода (для произвольной периодической последовательности)?

4. В каких случаях в нашей таблице наименьший период равен k, а в каких меньше? Сформулируйте и докажите закономерность.

5. Выпишите остатки от деления кубов (m = 3)  на числа k = 2, 3, 4, ..., 9. Найдите для каждого случая периоды. В каких случаях наименьший период равен k, а в каких меньше? Сформулируйте и докажите закономерность.

6. Проверьте аналогичную гипотезу для m-x степеней, где m - простое число.

7. Исследуйте ситуацию в случае, когда k - простое число.

8. Исследуйте ситуацию в случае, когда m и k - взаимно простые числа.

9. Исследуйте ситуацию в случае, когда m или k - произведение различных простых чисел.

 

План решения для п. 2).

1. Выпишите остатки от деления последовательности Фибоначчи на k = 2, 3, 4, . . . (вручную или с помощью компьютера). Что вы замечаете?

2. Может ли последовательность остатков быть непериодичной? Оцените длину периода из теоретических соображений.

3. Докажите, что любые два соседние члена последовательности Фибоначчи (a_n) полностью определяют всю последовательность (т.е. можно вычислять члены не только вправо, но и влево от этих двух).

4. Может ли последовательность остатков начинать свой первый период не с членов a₀ и a₁, а позже?

5. Сколько чисел Фибоначчи делятся на 2? На 3? На k?

6. Найдите наибольший общий делитель чисел a₉₉ и a₁₀₀. Обобщите.

7. Какими двумя числами начинается первый период? Каким числом он заканчивается?

8. Какое первое число Фибоначчи делится на данное k? Обозначим m номер второго числа, делящегося на k. Найдите номер третьего такого числа.

9. Пусть r — остаток от деления a_m−1 на k. Тогда остатки от деления чисел Фибоначчи на k выглядят как

0, 1, 1, 2, 3, . . . , r,               (mod k)

0, r, r, 2r, 3r, . . . , r²              (mod k)

Проверьте и продолжите последовательность. После какой строчки начнётся повторение?

10. Докажите, что найдётся p такое, что a^p_m−1 ≡ 1(mod k).

11. Сформулируйте теорему, которую вы доказали: “Период последовательности остатков, получающихся при делении чисел Фибоначчи на k > 1, равен ...”

12. Исследуйте экспериментально, сколько строк может быть в одном периоде (в таблице пункта 9)? Попытайтесь доказать.

13. Для дальнейших продвижений можно использовать аналог формулы Бине (если в поле F_k извлекается корень из k, то решение упрощается).