45. Сумма кубов цифр

С десятичной записью натурального числа проделывают следующую операцию: находят

сумму кубов его цифр, для полученного числа снова находят сумму кубов его цифр и т.д.

Какие последовательности чисел могут получаться?

Класс: >=5

Раздел: алгоритмы

Пошаговость: средняя

Методическое сопровождение: комментарий, обобщение

 

46. Задача Иосифа Флавия

Несколько школьников стоят по кругу и играют в считалочку. Выходят через одного, начиная со второго (выходят второй, четвёртый, шестой и т.д.). Требуется найти, каким по счёту нужно встать, чтобы остаться последним в кругу.

Класс: >=6

Раздел: алгоритмы

Методическое сопровождение: комментарий, обобщения, ссылка

Пошаговость: средняя

47. Обезьяна и кокосы

Есть башня в 10 этажей и два кокоса. Кокосы можно сбрасывать с каждого этажа и они могут разбиться и не разбиться. Нужно определить максимальный этаж, с которого кокос может упасть не разбившись, за наименьшее число попыток (обезьяна ленивая).

Например, если бы у обезьяны был только один кокос, то бросать его приходилось бы со всех этажей начиная с первого этажа.

Класс: >=7

Раздел: алгоритмы

Пошаговость: средняя

Методическое сопровождение: комментарий, обобщение

 

48. Игра Ним

В игре Ним играют двое. Есть несколько кучек с камнями. За один ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот игрок, который возьмет камни последним. Требуется разработать стратегию игры в Ним.

Класс: >=7 (двоичная система)

Раздел: алгоритмы

Пошаговость: средняя

Методическое сопровождение: комментарий, обобщение, ссылка

Комментарии арифметика

1. Замечательные числа

Можно последовательно выписывать числа 1, 2, 3 и т.д. и объединять их в семейства с одинаковой суммой. Выяснится, что все числа разбиваются на семейства, в каждом из которых сумма цифр одна и та же и равна номеру семейства.

2. Прямоугольники с заданной площадью

Задача подводит ученика к понятию простых и составных чисел (ср. задачу 8, «Поиск чисел с заданным количеством делителей»). Организовать исследование можно таким образом: ребёнок пытается нарисовать все искомые прямоугольники, что-то пропускает. Ему указывают ошибку и обсуждают, как действовать, чтобы ничего не пропустить (упорядоченный перебор). Затем предлагают изучить более простые случаи: прямоугольники с площадью 1, 2, 3 и так далее. Рассмотренные случаи объединяют в группы: площади, дающие один прямоугольник, два прямоугольника, три и так далее. Затем надо связать группы со свойствами чисел.

По ходу задачи обычно возникает вопрос о том, считать ли такие прямоугольники «за два или за один»:

и

Это важный момент, так как математикам часто приходится договариваться о том, какие объекты отождествлять, а какие считать различными.

Обобщение 1. Если брать не прямоугольники, а клеточные многоугольники, то получатся диаграммы Юнга, используя которые, можно доказывать различные неочевидные свойства разбиений натуральных чисел на слагаемые. См. [К4, глава 6]. При очень простой формулировке исходной задачи получаем сложный комбинаторный объект.

Например, такая диаграмма соответствует разбиению 5 = 2 + 2 + 1.

Обобщение 2. Можно фиксировать не площадь, а периметр. Например, рассматривать параллеломино – пары путей на клетчатой бумаге с началом в точке (0, 0) и концом в одной и той же точке, идущих только вверх и вправо и не имеющих общих точек, кроме начала и конца. См. [K3, с. 141].