33. Число турниров
В турнире «на кубок» участвуют n команд, и проигравший выбывает, а после n – 1 игры остаётся победитель. Расписание турнира можно записать в виде символа вроде
((a, (b, c)), d)
- b играет с c, победитель с a, победитель с d.
Сколько разных расписаний, если команд 10?
Класс: >=7 (формулы перестановок)
Раздел: комбинаторика
Пошаговость: средняя
Методическое сопровождение: комментарий
34. Число циклов
Рассмотрим перестановку шести чисел:
(эта запись означает, что каждое число из верхней строчки переходит в стоящее под ним число нижней: 1 переходит в 2, 2 – в 1, 3 – в 3, и так далее). Будем производить перестановку многократно и проследим за судьбой каждого числа:
1-> 2 -> 1 -> 2 -> 1 -> 2 -> … Получился цикл длины 2.
3 -> 3-> 3 -> … Получился неподвижный элемент или цикл длины 1.
4-> 6 -> 5 -> 4 -> 6-> 5 -> … Получился цикл длины 3.
Задача: изучить все перестановки данных шести чисел и подсчитать общее количество циклов длины 1, 2, 3, …, 6 в этих перестановках. Обобщить на перестановку n чисел.
Класс: >=7
Раздел: комбинаторика
Пошаговость: средняя
Методическое сопровождение: комментарий
35. Перестановки диагоналей
У куба четыре большие диагонали. Сколько разных перестановок этих четырёх отрезков осуществляют все вращения куба?
Класс: >=7
Раздел: комбинаторика, геометрия
Пошаговость: средняя
Методическое сопровождение: комментарий, ссылка
36. Подсчёт деревьев
Соедините n точек 1, 2, 3, …, n отрезками так, чтобы получилось дерево (т.е. граф, в котором есть путь из любой вершины в любую, но нет циклов – замкнутых путей; отрезков должно быть n -1). Сколько разных деревьев можно получить?
Класс: >=7 (формула перестановок)
Раздел: комбинаторика, геометрия
Пошаговость: средняя
Методическое сопровождение: комментарий, обобщение
37. Ломаные
Задача состоит в том, чтобы описать все замкнутые ломаные, пересекающие каждое свое звено ровно один раз и имеющие заданное число звеньев. Например, для 6 звеньев существует ровно одна такая ломаная.
Класс: >=8
Раздел: комбинаторика, геометрия
Пошаговость: низкая
Методическое сопровождение: комментарий, ссылка
Темы по комбинаторике см. также в [Ст 8, 11, 12].
АЛГОРИТМЫ
Такого раздела нет в школьной программе. Эти задачи требуют не столько школьных знаний, сколько логики, умения рассуждать и не бояться нестандартных вопросов (иногда весьма сложных). И поэтому такие задачи – шанс начать «новую жизнь» для школьника, не очень успешного в математике.
38. Монетки
Имеется несколько настоящих монет – все одного веса, и одна фальшивая – она легче. Какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах понадобится, чтобы определить фальшивую монету? Как надо взвешивать? Сначала решите задачу для 3, 9, 27 монет. Та же задача, если фальшивая монета отличается по весу от настоящих, но неизвестно, в какую сторону.
Класс: >=1
Раздел: алгоритмы
Пошаговость: высокая
Методическое сопровождение: комментарий, обобщение, ссылка