Геометрия

 

Геометрия, в противоположность алгебре, наименее алгоритмизированный раздел школьной математики, и исследовательских задач тут очень много. Стоит сделать два шага в сторону от школьной программы – и возникает новая тема (нередко она оказывается новой не только для школьника, но и для профессионала-математика). Но тут есть другое ограничение: чтобы решать содержательные задачи по геометрии, школьник должен быть хорошо выучен основам (7-8 класс), сам этого не придумаешь. Поэтому здесь большинство задач хороши не для знакомства с темой, а для повторения и углубления.

20. Оси куба

Возьмём кубик, проткнём его спицей через центры противоположных граней и начнём поворачивать. За один оборот кубик будет 4 раза совпадать со своим первоначальным положением. Поэтому такую ось называют осью вращения 4-го порядка. Какие ещё оси есть у куба, и каких порядков? Что изменится, если срезать у куба один уголок? Два противоположных уголка? Два уголка с одной грани? С одного ребра? Те же вопросы, если срезать три уголка.

Класс: >=1

Раздел: геометрия

Пошаговость: средняя

Методическое сопровождение: комментарий

 

21. Квадраты на клетчатой бумаге

Квадраты какой площади можно нарисовать на клетчатой бумаге? (Вершины должны лежать в вершинах клеток.) Для начала попробуйте нарисовать квадраты площадью 1, 2, 4, 5, 8, 13, 26 клеток.

Класс: >=1, <=8 (теорема Пифагора)

Раздел: арифметика, геометрия

Пошаговость: высокая

Методическое сопровождение: работа (с. 15-16).

 

22. Формула Пика

На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?

Класс: >= 5

Раздел: геометрия

Пошаговость: средняя

Методическое сопровождение: план, комментарий, ссылка

 

23. Разбиение многоугольника на равновеликие треугольники

Рассмотрим в n-угольнике точку M, обладающую следующим свойством: если соединить её отрезками с вершинами, то получатся n равновеликих треугольников. Для каких многоугольников такая точка найдётся? Сколько таких точек может быть? Какими свойствами они обладают?

Класс: >=8 (площадь треугольника)

Раздел: геометрия

Пошаговость: средняя

Методическое сопровождение: комментарий

 

24. Восстановление многоугольника

На доске нарисован многоугольник. Отметили середины его сторон, а сам многоугольник стёрли. Как восстановить многоугольник по серединам сторон? Сколько решений имеет задача?

Класс: >=8 (средняя линия)

Раздел: геометрия

Пошаговость: средняя, «Живая геометрия»

Методическое сопровождение: комментарий, обобщение

 

25. Равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники

1. Назовём многоугольник равноугольным, если у него все углы равны. Например, равноугольный четырёхугольник – это прямоугольник. У него равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равноугольного шестиугольника?

2. Назовём многоугольник равносторонним, если у него равны все стороны. Например, равносторонний четырёхугольник – это ромб. У него равны противоположные углы, диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равностороннего шестиугольника?

3. Изучите свойства равноугольных и равносторонних многоугольников, которые являются вписанными или описанными около окружности.

Класс: >=8 (свойства четырёхугольников)

Раздел: геометрия

Пошаговость: средняя, «Живая геометрия»

Методическое сопровождение: комментарий