О комментариях

К большинству задач приведены комментарии разной степени подробности – от кратких указаний до полного описания решения. Они адресованы руководителю (а не школьнику!) и помогают ему быстро сориентироваться в теме, литературе, связях с «большой» математикой. Однако важно помнить, что комментарий никоим образом не заменяет самостоятельного продумывания задачи, а только помогает экономить учительское время. Детям видеть комментарии неполезно – по крайней мере, прежде сколько-нибудь продолжительных самостоятельных размышлений.

Комментарии бывают нескольких видов – математический, исторический, педагогический. Комментарии не претендуют на полноту, а лишь показывают возможные подходы, отмечают интересные факты, и т.д. Автор будет признателен за любые дополнения.

К некоторым темам приводятся обобщения – возможное направление развития темы, и ссылка на литературу, по которой можно продолжить знакомство с темой.

Если задача достаточно сложна, и закономерности не поддаются непосредственному экспериментальному угадыванию, то учитель может превратить её в последовательность более простых задач и вопросов, т.е. составить план исследования. План кратко передаёт некоторое объективное содержание задачи. Такой план – хороший способ передачи другому учителю опыта работы с задачей. Если ученик работает самостоятельно, то такой план часто – единственная возможность ощутить вкус исследования. Много таких планов содержится в книгах [К3, К6, К7] и в материалах конференций [Конф1, Конф2]. Но, разумеется, никакой план не заменит ученику живого общения с руководителем. Опытный учитель, познакомившись с таким планом (а ещё лучше – наметив свой) реализует его в форме регулярных обсуждений текущих результатов ученика.

 

Авторство

За исключением задач, авторы которых указаны, остальные рекомендуемые тексты появлялись, как правило, следующим образом: группа учителей брала задачу (как правило классическую), переформулировала, дополняла и комментировала в исследовательском жанре.

Арифметика

Арифметика – царица математики, и подходящие задачи здесь найдёт для себя каждый – от первоклассника до академика.

 

1. Замечательные числа

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр. Например, число 1 замечательное, потому что оно самое маленькое из чисел 1, 10, 100, 1000 и так далее. 1 – это первое замечательное число. Найдите второе замечательное число. Опишите все числа, у которых сумма цифр такая же. То же для третьего, десятого, 2010-го замечательного  числа.

Найдите самое большое двузначное замечательное число. Какой у него номер?

Класс: >=1, <=6

Раздел: арифметика

Пошаговость: высокая

Методическое сопровождение: комментарий

 

2. Прямоугольники с заданной площадью

На клетчатой бумаге нарисуйте все прямоугольники, у которых площадь равна 24 клеткам. (Стороны должны идти по границам клеток.) Сколько получится таких прямоугольников?

Для каких площадей бывает только один прямоугольник? Для каких – два разных прямоугольника? Три разных прямоугольника? Как зависит количество вариантов от площади?

Найдите из всех прямоугольников с одинаковой площадью тот, у которого периметр наименьший.

Класс: >=3 (площадь, периметр), <=5 (простые и составные числа)

Раздел: арифметика, геометрия

Пошаговость: высокая

Методическое сопровождение: комментарий, обобщение