5.Дифференциальные уравнения равновесия жидкостей.
В
неподвижной жидкости возьмем произвольную
точку 
с
координатами 
и
давлением 
(рис.
1.2.3).Систему
координат будем считать жестко связанной
с емкостью, содержащей жидкость. Выделим
в жидкости элементарный объем в форме
параллелепипеда с ребрами, параллельными
координатным осям и соответственно
равными 
.
Пусть точка
будет
одной из вершин этого параллелепипеда.
Рассмотрим
условия равновесия выделенного объема
жидкости. Пусть внутри параллелепипеда
на жидкость действует массовая сила,
составляющие которой, отнесенные к
единице массы, равны 
.
Тогда массовые силы, действующие на
выделенный объем в направлении
координатных осей, будут равны
составляющим
,
умноженным на массу выделенного объема
жидкости.
|
Рис. 1.2.3. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия жидкости |
Давление есть функция координат , но вблизи точки по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково, что следует из доказанного выше свойства гидростатического давления. При переходе от точки , например, к точке
изменяется
только координата 
на
бесконечно малую величину 
,
в связи с чем функция
получает
приращение, равное частному
дифференциалу 
.Следовательно, давление в точке выделенного объема жидкости будет равно
,
где 
-
градиент давления, который показывает
величину изменения давления вблизи
точки
в
направлении оси
,
приходящуюся на единицу длины
.
Рассматривая
давления в других точках граней,
перпендикулярных к оси
,
например, в точках 
и 
,
можно сделать вывод, что они отличаются
на одинаковую величину 
.
Тогда разность сил давления, действующих
на параллелепипед в направлении оси
,
равна указанной величине, умноженной
на площадь грани: 
.
Аналогичным
образом, но через градиенты давления 
и 
,
выразим разности сил давления, действующие
на выделенный объем жидкости в направлении
двух других осей, и запишем уравнения
равновесия параллелепипеда в направлениях
трех координатных осей в следующем
виде:
Разделим
эти уравнения на массу выделенного
объема жидкости 
и
перейдем к пределу, устремляя 
и 
к
нулю, то есть, стягивая параллелепипед
к точке
.
Тогда в пределе получим уравнения
равновесия жидкости в направлениях
трех координатных осей для произвольной
точки (дифференциальные уравнения
Эйлера):
(1.2.4)
где X,Y,Z -
ускорения от равнодействующей массовой
силы; , 
, 
-
ускорения от сил давления в направлении
координатных осей.
Для
практического пользования удобно вместо
системы дифференциальных уравнений
(1.2.4) получить одно эквивалентное им
уравнение, не содержащее частных
производных. Для этого умножив первое
из уравнений (1.2.4) на
,
второе - на 
,
третье - на
и,
сложив все три уравнения, получим
.
(1.2.5)
Выражение
в скобках представляет собой полный
дифференциал давления 
,
поэтому уравнение (1.2.5) можно представить
в виде
или
(1.2.6)
Уравнение (1.2.6) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики или приведенным уравнением Эйлера. Оно выражает приращение давления , при изменении координат, соответственно, на величину , для общего случая равновесия жидкости.