29. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида  .Суммой сходящегося числового ряда   называется предел последовательности его частичных сумм, то есть,  .

Свойства сходящихся числовых рядов.

Если сходится числовой ряд  , то сходящимся будет и ряд  . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду   добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

Если сходится числовой ряд   и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд  , причем  , где A – произвольная постоянная.

Если сходятся числовые ряды   и  , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды   и  , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то   un=0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем  -  =  = un=0, что и требовалось доказать. Следствие. Если  un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится.

30. Числовые ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.

Числовой ряд  называется рядом с положительными членами, если  при любом п.

Теорема 8. Любой ряд с положительными членами либо сходится, и его сумма есть положительное число, либо расходится и его сумма равна 

Доказательство. Пусть дан ряд с положительными членами:

.

Запишем последовательность частичных сумм:

Очевидно, что  .

Таким образом, последовательность частичных сумм является строго возрастающей, но тогда возможны два случая:

1) Последовательность частичных сумм  ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности утверждаем, что  имеет конечный предел, то есть ряд сходится.

2) Последовательность частичных сумм  возрастает неограниченно, тогда  , ряд расходится. Теорема доказана.

Признак Коши. Пусть для числового ряда ( 1 ) с положительными членами существует предел

                                        σ =   

Тогда при σ < 1 ряд сходится, а при σ > 1 ряд расходится.

Можно указать как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых σ = 1.

Теорема сравнения. Пусть даны два положительных ряда

                        (*)      и                 (**)

Если, начиная с некоторого номера N, т.е. при n > N, выполняется неравенство   ≤   , то из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*), а из расходимости ряда (*) следует расходимость ряда (**).

31. Числовые ряды с положительными членами. Признак Даламбера.

Признак сходимости Даламбера

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос: Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовойпредельный признак сравнения. Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда: 1) В знаменателе находится многочлен. 2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе. 3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например,  ,  ,   и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел. Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку: … …

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например,  . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-тоиз рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:  , то: а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При   признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к урокуПределы. Примеры решений. Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность   дальше, к сожалению, не продвинуться.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера.

 

Теорема. Рассмотрим ряд  с положительными членами и предел отношения последующего члена ряда к предыдущему.

1) Если  2) существует  , тогда 

Доказательство:

то есть  .

Рассмотрим 3 случая:

1)  Выберем  столь малым, чтобы значение  тогда, полагая  , при значении  имеем  для  .

  и так далее.

Члены ряда  меньше членов геометрической прогрессии:  Так как  , то ряд (2) сходится, значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1).

2)  Возьмем  столь малым, что  тогда при  члены ряда не не выполняется необходимый признак сходимости  ряд расходится.

3)  Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

1) гармонический ряд  расходится, для него 

2) Рассмотрим ряд 

Для него  Сравним члены исследуемого ряда со сходящимся рядом  (доказано ранее). 

Значит,  сходится.