14. Тройной интеграл в декартовых координатах. Свойства. Оценка. Теорема о среднем.
Предположим,
что область интегрирования 
в
тройном интеграле 
ограничена
гладкими поверхностями, заданными в
прямоугольной декартовой системе
координат 
.
Разобьем область интегрирования на
элементарные области 
плоскостями,
параллельными координатным
плоскостям, 
, 
, 
.
Тогда элементарный объем каждой
области 
будет
равен 
.
По определению:
.
Рис. 1.
Пусть
область
однозначно
проектируется в область 
на
плоскости 
.
При этом поверхность, которая ограничивает
область
,
можно разбить на две поверхности:
поверхность 
,
ограничивающая
снизу,
и поверхность 
,
ограничивающая
сверху
(рис. 1).
Разобьём
область
на
плоскости
на 
элементарных
областей 
.
Обозначим через 
площадь
элементарной области 
.
На
каждой элементарной области построим
цилиндр с образующей, параллельной
оси 
.
Такой цилиндр вырежет на граничных
поверхностях
и
некоторые
элементарные области, которые будем
считать плоскими и параллельными
координатной плоскости
.
Каждый цилиндр разобьем на 
частей
плоскостями, параллельными координатной
плоскости
,
и расстояния между плоскостями обозначим
через 
.
В
результате область
разобьётся
на элементарные цилиндры 
с
площадью основания 
и
высотой 
.
Объём элементарного цилиндра равен: 
.
В
каждом элементарном цилиндре
выберем
точку 
.
Тогда интегральная сумма примет вид:
,
где
функция 
является
интегралом с переменным верхним и нижним
пределом.
Следовательно,
тройной интеграл равен двойному интегралу
по проекции на плоскость
области
.
Подынтегральной функцией этого двойного
интеграла является интеграл по
переменной 
от
функции 
в
пределах: от значения
на
поверхности, являющейся нижней границей
области
,
до значения
на
поверхности, являющейся верхней
границей
.
.
Задача
Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями 
, 
, 
Рис. 2.
15. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Теорема о среднем значении для тройного интеграла: Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой в области Ω, то найдется точка Pc€Ω, такая, что будет справедлива формула
где V – объем области Ω.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
16. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат:
,r-якобиан
Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой
В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид
17. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
В
приведенном выражении 
означает
абсолютное значение якобиана.
(Якобиан-определитель матрицы Якоби).
Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где
ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).
Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).
В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами −ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz