5. Производная по направлению.

Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

6. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=F(x,y).

Касательная плоскость в точке гладкой поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.

F(x,y,z) = √(x^2+y^2) - z dF/dx = x/sqrt(x^2 + y^2) = -1/sqrt(10) = - sqrt(10)/10 dF/dy = y/sqrt(x^2 + y^2) = -3/sqrt(10) = -3sqrt(10)/10 dF/dz = -1 Уравнение плоскости: (dF/dx)(x - x0) + (dF/dy)(y - y0) + (dF/dz)(z - z0) (-sqrt(10)/10)(x + 1) - (3sqrt(10)/10)(y + 3) - (z - sqrt(10)) = (-sqrt(10)/10)x - (3sqrt(10)/10)y - z - (sqrt(10)/10) - (9sqrt(10)/10) + sqrt(10) = -z - (-sqrt(10)/10)x - (3sqrt(10)/10)y z = - (-sqrt(10)/10)x - (3sqrt(10)/10)y

7. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

Частные производные-функции, которые в свою очередь тоже могут иметь производные

Теорема о равенстве смешанных частных производных:

Теорема Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.

8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.

Дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка функции f(x) называется дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) этой функции и обозначается через d2y:

Дифференциалом n -го порядка (при n ≥ 2) называют дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1) -го порядка

Вычисление дифференциала n -го порядка функции y = f(x)

Пусть функция имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор

Тогда разложением в ряд Тейлора функции по степеням и в окрестности точки будет

9. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е. , тогда при : 1) имеет максимум, если дискриминант и , где ; 2) имеет минимум, если дискриминант и ; 3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ; 4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).