58. Особые точки фкп. Их классификация.

ЛЕКЦИИ по теме ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Производная Функции комплексного переменного

Производные элементарных Функций комплексного переменного

59. Вычеты. Основная теорема о вычетах.

Вычетом функции в точке называется число

.

(Основная теорема о вычетах).

Пусть f(z) аналитична в области D, кроме конечного числа особых точек   и аналитична на Г – границе области D, ориентированной положительно относительно области D. Тогда

                             

60. Вычеты функций относительно особых точек.

Вычет в «бесконечности»

Для возможности более полного изучения свойств функции вводится понятие вычета в бесконечности, при этом она рассматривается как функция на сфере Римана(сфера Римана- система отсчета, заданная на сфере). Пусть бесконечно удалённая точка является изолированной особой точкой , тогда вычетом в бесконечности называется комплексное число, равное

.

Цикл интегрирования в этом определении ориентирован положительно, то есть против часовой стрелки.

Аналогично предыдущему случаю вычет в бесконечности имеет представление и в виде коэффициента лорановского разложения в окрестности бесконечно удалённой точки:

.

Вычет дифференциальной формы

С точки зрения анализа на многообразиях вводить специальное определение для некоторой выделенной точки сферы Римана (в данном случае, бесконечно удалённой) неестественно. Более того, такой подход затруднительно обобщить на более высокие размерности. Поэтому понятие вычета вводится не для функций, а для дифференциальных -форм на сфере Римана:

.

На первый взгляд разницы в определениях никакой, однако теперь  — произвольная точка , и смена знака при вычислении вычета в бесконечности достигается за счёт замены переменных в интеграле.

Логарифмические вычеты

Интеграл называется логарифмическим вычетом функции относительно контура .

61. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.

1. Найти особые точки функции .

2. Определить, какие из этих точек расположены в области , ограниченной контуром . Для этого достаточно сделать чертеж: изобразить контур и отметить особые точки.

3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области.

4. Записать результат по формуле:

62. Преобразование Лапласа. Функции оригиналы. Функции изображения.

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию f(t) действительной переменной t, удовлетворяющую условиям:         1. f (t) = 0 при t < 0;         2. Существуют такие постоянные M > 0 и σ0 ≥ 0, что | f (t) | ≤ M·eσ0 t;         3. На любом отрезке [ a, b] (0 ≤ a < b < ∞) функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).

Изображением функции-оригинала f (t) (или преобразованием Лапласа функции f (t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством                  .