Тема 11. Сложное движение точки

Относительное, переносное и абсолютное движения. Сложное движение точки – это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях. При определении движения ВС относительно земли приходится учитывать и движение воздушного потока, в котором оно перемещается.

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, которая, в свою очередь, как-то движется относительно другой системы отсчета Oxyz, условно считаемой неподвижной (рис. 3.1.81).

Движение точки М относительно подвижной системы отсчетаO₁x₁y₁z₁ называют относительным движением точки. Скорость и ускорение точки в относительном движении называютотносительной скоростью ( ) иотносительным ускорением. Движение подвижной системы отсчета и неизменно связанного с ней тела по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz, называетсяпереносным движением.

Переносной скоростью ( ) ипереносным ускорением ( ) точки называется абсолютная скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижными осями точки, с которой в данный момент совпадает точка М.

Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета Oxyz называетсяабсолютным или сложным движением. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью( ) и абсолютным ускорением ( ).

Теорема о сложении скоростей. Для установления связи между скоростями точки в двух системах отсчета воспользуемся следующими векторными равенствами (см. рис. 3.1.81):

; (3.1.79)

; (3.1.80)

, (3.1.81)

Поскольку при определении относительной скорости можно «забыть» о переносном движении, т.е. считать оси о₁х₁у₁z₁ неподвижными, продифференцировав равенство (3.1.80) в этом предположении, найдем

. (3.1.82)

Таким образом, относительная скорость точки в сложном движении определяется обычными методами кинематики точки для неподвижных систем координат.

При определении переносной скорости исключаем относительное движение, т.е. полагаем | | = const. Продифференцировав векторное равенство (3.1.80) в этом предположении, найдем

.

Учитывая, что  =  – скорость начала подвижной системы координат, а  , где ω_е – угловая скорость переносного движения системы, окончательно получаем

. (3.1.83)

Формула (3.1.83) определяет вектор переносной скорости точки в общем случае свободного переносного движения. В частных случаях переносного движения формула (3.1.83) упрощается, например, при поступательном переносном движении ω_e = 0, а при вращательном переносном  = 0.

Абсолютную скорость точки найдем, продифференцировав по времени векторное равенство (3.1.81):

.

Учитывая, что  а также равенства (3.1.82) и (3.1.83), получаем

. (3.1.84)

Формула (3.1.84) представляет собой математическую запись теоремы о сложении скоростей в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей.

Модуль определяем по теореме косинусов:

. (3.1.85)

Следует отметить, что в самолетовождении теорема о сложении скоростей применяется в следующей интерпретации: путевая скорость самолета  равна геометрической сумме скорости воздуха  и воздушной скорости самолета  :

. (3.1.86)

Теорема о сложении ускорений. Абсолютное ускорение, характеризующее изменение абсолютной скорости в абсолютном движении, найдем, продифференцировав по времени векторное равенство (3.1.84):

.

1 группа – производные только от векторов  ;

2 группа – производные только от относительных координат;

3 группа – производные от векторов и относительных координат.

Каждая из групп соответствует некоторому ускорению. Переносное ускорение  – вычисляется, как если бы точка М покоилась по отношению подвижной системы осей (x₁,y₁, z₁ = const) и перемещалась вместе с ними по отношению к неподвижной системе;  – вычисляется, как если бы координаты x₁, y₁, z₁ менялись, а векторы были постоянны.

Последнее слагаемое называют поворотным ускорением, или ускорением Кориолиса– по имени французского ученого Г. Кориолиса (1792 – 1843) Поворотное ускорение определяется по формуле

.

Используя формулы Пуассона, получаем

;  ;  ,

тогда

;

. (3.1.87)

Формула абсолютного ускорения точки в сложном движении принимает следующий вид:

. (3.1.88)

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме ее переносного, относительного и поворотного ускорений.

Модуль и направление ускорения Кориолиса.Поворотное ускорение характеризует одновременно и изменение вектора переносной скорости в относительном движении, и изменение вектора относительной скорости в переносном движении (рис. 3.1.82).

Модуль поворотного ускорения, как это следует из определения векторного произведения,

. (3.1.89)

Поворотное ускорение может быть равно нулю в трех случаях: или  , или V_r = 0, или относительная скорость параллельна оси переносного вращения (например, точка перемещается по образующей цилиндра, вращающегося вокруг оси своей симметрии).

Для определения направления поворотного ускорения используется или обычное правило векторного произведения, или правило Н.Е. Жуковского. Рассмотрим оба этих правила. Как известно, вектор  векторного произведения 2( ) перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов и направлен в ту сторону, откуда поворот первого вектора в произведении ко второму на наименьший угол виден против движения часовой стрелки (рис. 3.1.83, а).

Согласно правилу Н.Е. Жуковского (рис. 3.1.83, б), чтобы найти направление поворотного ускорения, нужно спроецировать относительную скорость точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения  , и повернуть эту проекцию в той же плоскости на 90° в сторону переносного вращения (см. рис. 3.1.83, б).

форм

14.формула локальной ( относительной )производной вектора .

Рассмотрим изменение вектора b(t) по отношению к двум системам координат — подвижной O'XYZ и неподвижной Oxyz.

Абсолютной, или полной, производной вектора b по аргументу t назьшается вектор   определяющий изменение вектоpa b(t) в неподвижной системе Oxyz.

Относительная, или локальная, производная  определяет измененине вектора b(t) в подвижной системе O'XYZ.

Формула Бура (получается из зависимости между полной и локальной производными):  .

Рассомтрим частные случаи.

1) угловая скорость = 0, то  = ;

2) вектор b не меняется в подвижной системе отсчета ( =0), то  ;

3)  , т.е. вектор b все время параллелен вектору угловой скорости ( ), то  = . В частности, если  , то  , т.е. вектор угловой скорости изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат.

Дополнение:

Выведение формулы Бура:

Найдем зависимость между полной и локальными производными. Если воспользоваться проекциями вектора b(t) на оси подвижной системы O'XYZ, то можно записать: , где I, J, К — орты, не изменяемые в этой системе отсчета. Поэтому локальная производная  , а полная производная   с учетом изменения также ортов I, J , К имеет вид:  . В правой части уравнения первые три слагаемых выражают локальную производную, а производные от ортов I, J, K определяются формулами Пуассона ( ), т.е.  . С учетом   получаем:  .